藤田医科大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

藤田医科大学2022年度第2問

座標空間ですべての頂点が格子点となっている直方体を格子点直方体と呼ぶことにする。ただし格子点とは、

x

座標、

y

座標、

z

座標がすべて整数となっている点であり、直方体には立方体も含まれる。1つの頂点が原点にあり、原点から出る3つの辺がそれぞれ

x

軸、

y

軸、

z

軸上にある格子点直方体について、次の問いに答えよ。ただし回転させて重なる直方体であっても異なる格子点に頂点があるものは、異なる直方体として数える。
(1) 原点から出る3辺がそれぞれ異なる長さ2、3、4である格子点直方体は何通り作れるか。
(2) 原点から出る3辺の長さの和が9である格子点直方体は何通り作れるか。
(3) 体積が64となる格子点直方体は何通り作れるか。
(4) 体積が1800となる格子点直方体は何通り作れるか。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$48$
(2)
$224$
(3)
$224$
(4)
$2880$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

原点から出る3辺の長さを正の整数

a,b,c

とする。辺はそれぞれ

x,y,z

軸上にある。各軸の正負いずれの向きも選べるので、符号の組は

2^3=8

通りである。座標軸ごとの辺長の割当てや符号が異なれば格子点頂点集合が異なるため、別々に数える。

(1)

(a,b,c)

は

2,3,4

の順列で、

3!=6

通り。各三つ組に8通りの符号があるから

6\cdot8=48

通り。

(2)

a+b+c=9

の正整数解の個数は

{}_{9-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{8}\mathrm{C}_{2}=28.

符号を含む頂点集合は

28\cdot8=224

個。

(3)

abc=64=2^6

より

a=2^i,b=2^j,c=2^k

とおくと、

i+j+k=6

（

i,j,k\geqq0

）。その個数は

{}_{8}\mathrm{C}_{2}=28

。符号を含めて

28\cdot8=224

個。

(4)

1800=2^3\cdot3^2\cdot5^2

。各素因数の指数を

a,b,c

に割り当てる方法数はそれぞれ

{}_{5}\mathrm{C}_{2},{}_{4}\mathrm{C}_{2},{}_{4}\mathrm{C}_{2}

なので、辺長三つ組は

10\cdot6\cdot6=360

個。符号を含めて

360\cdot8=2880

個。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

仕切り法
素因数指数の分配
軸の割当てと符号選択

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

2藤田医科大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

2答え

3解答

解答

次にやること

似た問題を、ほかの大学で