2大分大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

2 つの楕円の方程式を引くと
$$\left(\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}\right)(x^{2}-y^{2})=0$$
となる。$a\neq b$ より係数は $0$ でないから、交点では $x^{2}=y^{2}$ である。第 1 象限の交点なので $x=y$。これをいずれかの楕円の方程式に代入すると
$$x^{2}\left(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}\right)=1$$
となり、したがって $x=y=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ である。よって
$$c=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$$

(2)

$a,\,b>0$ なので $0<c<a$ かつ $0<c<b$ である。領域の上端をそれぞれ表すと
$$S_{1}=\displaystyle\int_{0}^{c}b\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}}\,dx,\qquad S_{2}=\displaystyle\int_{0}^{c}a\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}}\,dx.$$
まず $x=a\sin\theta$ とおくと、$0\leqq\theta\leqq\alpha$ である。ただし $\alpha$ は $\dfrac{b}{a}=\tan\alpha$、$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角である。このとき
$$S_{1}=ab\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\cos^{2}\theta\,d\theta=\dfrac{ab}{2}\left(\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\right)=\dfrac{ab}{2}\left(\alpha+\dfrac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right).$$
同様に、$x=b\sin\phi$、$0\leqq\phi\leqq\beta$ とおけば、$\beta$ は $\dfrac{a}{b}=\tan\beta$、$0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角であり、
$$S_{2}=\dfrac{ab}{2}\left(\beta+\dfrac{ab}{a^{2}+b^{2}}\right).$$
$\tan\beta=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ より $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ である。以上を加えて
$$S_{1}+S_{2}=\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2ab}{a^{2}+b^{2}}\right)=\dfrac{\pi ab}{4}+\dfrac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.$$