4獨協医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

平方完成と導関数で増減・極大を調べ、面積は円の半円および中心角90度の円弧部分を図形の面積として評価する。接線は微分係数から求め、Tは境界の交点で積分区間を分ける。

(1)
平方根の中身を平方完成すると
$$-x^2+6x+23=32-(x-3)^2.$$
したがって定義域は $(x-3)^2\leqq32$，すなわち $3-4\sqrt2\leqq x\leqq3+4\sqrt2$ である。よって
$$\text{ア}=3,\quad\text{イ}=4,\quad\text{ウ}=2,\quad\text{エ}=3,\quad\text{オ}=4,\quad\text{カ}=2.$$
$u=x-3$ とおくと，定義域の内側で
$$f'(x)=1-\frac{u}{\sqrt{32-u^2}}.$$
$u<0$ では $f'(x)>0$。また $0\leqq u<4$ では $u<\sqrt{32-u^2}$ より $f'(x)>0$，$4<u<4\sqrt2$ では $u>\sqrt{32-u^2}$ より $f'(x)<0$。したがって $x=7$（$u=4$）で最大となり，
$$f(7)=6+\sqrt{16}=10.$$
よって $\text{キ}=7$，$\text{クケ}=10$。

(2)
$C$ と $y=x-1$ の交点では $\sqrt{32-(x-3)^2}=0$ だから，
$$\alpha=3-4\sqrt2,\qquad \beta=3+4\sqrt2.$$
区間内で $f(x)-(x-1)=\sqrt{32-(x-3)^2}\geqq0$。従って $S$ は半径 $4\sqrt2$ の半円の面積であり，
$$S=\frac12\pi(4\sqrt2)^2=16\pi.$$
よって $\text{コサ}=32$，$\text{シ}=3$，$\text{スセ}=16$。

(3)
$$f(-1)=-2+\sqrt{16}=2,\qquad f'(-1)=1-\frac{-4}{4}=2.$$
したがって接線は $\ell:y-2=2(x+1)$，すなわち $y=2x+4$ であり，$\text{ソ}=2$，$\text{タ}=4$。

(1)より $C$ の最高点は $(7,10)$ である。また $\ell$ と $y=10$ の交点は $(3,10)$，$C$ と $\ell$ の接点は $(-1,2)$ である。$-1\leqq x\leqq3$ では $x+5>0$ かつ
$$(x+5)^2-\{32-(x-3)^2\}=2(x+1)^2\geqq0$$
だから $\ell\geqq f$。$3\leqq x\leqq7$ では $f(x)\leqq10$。従って
$$T=\int_{-1}^{3}\{(2x+4)-f(x)\}\,dx+\int_{3}^{7}\{10-f(x)\}\,dx =48-\int_{-1}^{7}\sqrt{32-(x-3)^2}\,dx.$$
最後の積分は，中心 $(3,0)$，半径 $4\sqrt2$ の円の上半円のうち $x= -1$ から $x=7$ までの部分の面積である。端点は $(-1,4),(7,4)$ で，中心から端点への半径は直交する。したがって弦の上の部分は中心角90度の扇形から底辺8，高さ4の三角形を除いた面積 $8\pi-16$ である。弦の下の長方形の面積は $8\cdot4=32$ なので
$$\int_{-1}^{7}\sqrt{32-(x-3)^2}\,dx=32+(8\pi-16)=16+8\pi.$$
よって
$$T=48-(16+8\pi)=32-8\pi.$$
従って $\text{チツ}=32$，$\text{テ}=8$。