1旭川医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)
$x=e^{t}-e^{-t}$、$y=e^{t}+e^{-t}$ より $y^{2}-x^{2}=(e^{t}+e^{-t})^{2}-(e^{t}-e^{-t})^{2}=4$ であり、$y=e^{t}+e^{-t}>0$ である。
$x$ のとりうる値は実数全体である。実際、$x=e^{t}-e^{-t}$ の両辺に $e^{t}$ を掛けると $e^{2t}-xe^{t}-1=0$ となる。これは $e^{t}$ の 2 次方程式で、解の積が $-1$ なので正の解が 1 つあり、$e^{t}=\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+4}}{2}>0$ である。この $e^{t}$ を与える t が存在するので、どの実数 x に対しても、その x を与える t がある。
$y=\sqrt{x^{2}+4}$ で、$x^{2}$ は 0 以上のすべての値をとるから、$y$ のとりうる値は $y\geqq 2$ である。

(2)
(1) の $y^{2}-x^{2}=4$ と $y>0$ より、求める式は $y=\sqrt{x^{2}+4}$ である。

(3)
$T>0$ のとき $a=e^{T}-e^{-T}>0$、$b=e^{T}+e^{-T}$ であり、$b^{2}-a^{2}=4$、$a+b=2e^{T}$ が成り立つ。点 P$(a,\,b)$ は C 上にある。
線分 OP は直線 $y=\dfrac{b}{a}x$ 上にある。$0\leqq x\leqq a$ で C の部分 $y=\sqrt{x^{2}+4}$ がこの直線より上にあることを示す。両辺は $x\geqq 0$ で正なので、2 乗して比べると $x^{2}+4\geqq\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}$ である。$b^{2}=a^{2}+4$ より $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}=x^{2}+\dfrac{4x^{2}}{a^{2}}$ なので、これは $x^{2}\leqq a^{2}$、すなわち $0\leqq x\leqq a$ と同じである。
よって D は $0\leqq x\leqq a$ で、$\dfrac{b}{a}x\leqq y\leqq\sqrt{x^{2}+4}$ を満たす部分であり、その面積は
$$S=\displaystyle\int_{0}^{a}\left(\sqrt{x^{2}+4}-\dfrac{b}{a}x\right)dx$$
である。$\dfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4}+2\log\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)$ は $\sqrt{x^{2}+4}$ の原始関数なので
$$\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{x^{2}+4}\,dx=\dfrac{ab}{2}+2\log(a+b)-2\log 2$$
である。また
$$\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{b}{a}x\,dx=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{2}=\dfrac{ab}{2}$$
である。よって
$$S=2\log(a+b)-2\log 2=2\log\dfrac{a+b}{2}=2\log e^{T}=2T$$
となる。

(4)
高さ y（$0\leqq y\leqq b$）での D の点の x 座標は、$\dfrac{b}{a}x\leqq y$ より $x\leqq\dfrac{a}{b}y$、$y\leqq\sqrt{x^{2}+4}$ より $x^{2}\geqq y^{2}-4$ を満たす。
$0\leqq y\leqq 2$ のとき $0\leqq x\leqq\dfrac{a}{b}y$、$2\leqq y\leqq b$ のとき $\sqrt{y^{2}-4}\leqq x\leqq\dfrac{a}{b}y$ である。D は $x\geqq 0$ の部分なので、y 軸のまわりに 1 回転させると、高さ y で外の半径が $\dfrac{a}{b}y$、内の半径が $0$（$0\leqq y\leqq 2$）または $\sqrt{y^{2}-4}$（$2\leqq y\leqq b$）の円環の集まりになる。よって
$$V=\pi\displaystyle\int_{0}^{b}\left(\dfrac{a}{b}y\right)^{2}dy-\pi\displaystyle\int_{2}^{b}\left(y^{2}-4\right)dy$$
である。第 1 項は $\pi\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\cdot\dfrac{b^{3}}{3}=\dfrac{\pi a^{2}b}{3}=\dfrac{\pi(b^{3}-4b)}{3}$ である（$a^{2}=b^{2}-4$ を用いた）。第 2 項は $\pi\left[\dfrac{y^{3}}{3}-4y\right]_{2}^{b}=\pi\left(\dfrac{b^{3}}{3}-4b+\dfrac{16}{3}\right)$ である。よって
$$V=\pi\left\{\dfrac{b^{3}-4b}{3}-\dfrac{b^{3}}{3}+4b-\dfrac{16}{3}\right\}=\dfrac{8\pi(b-2)}{3}$$
となる。