III横浜市立大学 2023年 数学 第III問解答・解説

直線を媒介変数表示し、内積条件と成分比較で共通垂線の端点を決定した後、PQの中点と長さから球を表す。

直線 $\ell, m$ の方向ベクトルを求めるため、それぞれの共通値を $t, s$ とおく。すると
$$\ell:(x,y,z)=(2,0,-1)+t\left(\frac12,1,\frac12\right),\qquad m:(x,y,z)=(3,5,-5)+s\left(-\frac12,1,1\right)$$
である。したがって方向ベクトルとして $\vec{u}=(1,2,1),\ \vec{v}=(-1,2,2)$ をとれる。

(1) $\vec{p}=(a,b,c)$ とおくと、両方向ベクトルに垂直であるための条件は
$$a+2b+c=0,\qquad -a+2b+2c=0$$
である。これらを加えると $4b+3c=0$ となる。$c=4$ とすれば $b=-3$ であり、最初の式から $a=2$ を得る。よって一例は $\vec{p}=(2,-3,4)$ である（この0でない定数倍も条件を満たす）。

(2) $\ell$ 上の点 $P$ と $m$ 上の点 $Q$ を
$$P=\left(2+\frac{t}{2},t,-1+\frac{t}{2}\right),\qquad Q=\left(3-\frac{s}{2},5+s,-5+s\right)$$
とおく。直線 PQ が $\vec{p}$ に平行なので、ある実数 $\lambda$ に対し $Q-P=\lambda(2,-3,4)$ である。成分を比較すると
$$s+t=2-4\lambda,\qquad s-t=-5-3\lambda,\qquad 2s-t-8=8\lambda$$
を得る。最初の二式から
$$s=\frac{-3-7\lambda}{2},\qquad t=\frac{7-\lambda}{2}$$
であり、これを第三式に代入すると
$$-\frac{29}{2}-\frac{13}{2}\lambda=8\lambda$$
となるから $\lambda=-1$。したがって $s=2,\ t=4$ であり、
$$P=(4,4,1),\qquad Q=(2,7,-3)$$
である。よって求める直線は
$$n:(x,y,z)=(4,4,1)+r(2,-3,4)\qquad\text{（$r$ は実数）}$$
である。実際 $r=-1$ のとき Q を通る。

(3) 球の中心は $PQ$ の中点
$$C=\left(\frac{4+2}{2},\frac{4+7}{2},\frac{1-3}{2}\right)=\left(3,\frac{11}{2},-1\right)$$
である。また $\overrightarrow{PQ}=(-2,3,-4)$ なので、半径の2乗は
$$\frac{PQ^2}{4}=\frac{(-2)^2+3^2+(-4)^2}{4}=\frac{29}{4}$$
となる。したがって球の方程式は
$$(x-3)^2+\left(y-\frac{11}{2}\right)^2+(z+1)^2=\frac{29}{4}$$
である。確認として、$P-C=(1,-\frac32,2),\ Q-C=(-1,\frac32,-2)$ であり、どちらの長さの2乗も $29/4$ となる。