IV横浜市立大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

(1) 部分積分により
$$\int t\sin t\,dt=-t\cos t+\int\cos t\,dt =-t\cos t+\sin t+C.$$
実際、この右辺を微分すると $t\sin t$ となる。

(2) $f(-t)=-f(t)$ なので、対称区間上で $t$ を $-t$ に置換すると
$$\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=\int_{-a}^{a}f(-t)\,dt =-\int_{-a}^{a}f(t)\,dt.$$
従って
$$\boxed{\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0}.$$

(3) $h(t)=\dfrac{g(t)-g(-t)}{2}$ とおけば
$$h(-t)=\frac{g(-t)-g(t)}2=-h(t),$$
ゆえに $h$ は奇関数である。したがって
$$\boxed{\int_{-a}^{a}\frac{g(t)-g(-t)}2\,dt=0}.$$

(4) $F(t)=\dfrac{t\sin t}{1+\pi^{\sin^3t}}$ とおく。$u=\pi^{\sin^3t}$ とおくと $u>0$ であり、$\sin^3(-t)=-\sin^3t$ から
$$F(t)+F(-t) =t\sin t\left(\frac1{1+u}+\frac1{1+u^{-1}}\right) =t\sin t.$$
よって
$$\begin{aligned} \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{t\sin t}{1+\pi^{\sin^3t}}\,dt &=\int_0^{\pi/3}\{F(t)+F(-t)\}\,dt\\ &=\int_0^{\pi/3}t\sin t\,dt\\ &=\left[-t\cos t+\sin t\right]_0^{\pi/3}\\ &=\boxed{\frac{3\sqrt3-\pi}{6}}. \end{aligned}$$$${\int }_{-\pi /3}^{\pi /3}\frac{t\sin t}{1+{\pi }^{{\sin }^{3}t}}dt={\int }_0^{\pi /3}\{F(t)+F(-t)\}dt$$$$={\int }_0^{\pi /3}t\sin tdt$$$$={\left[-t\cos t+\sin t\right]}_0^{\pi /3}$$$$=\boxed{\frac{3\sqrt{3}-\pi }{6}}.$$

(1) は部分積分。(2) と (3) は奇関数の対称区間積分。(4) は被積分関数を t と −t で組にすると指数因子が相殺し、(1)の積分へ帰着する。