2和歌山県立医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

初項の形に応じて漸化式が単純な等差列となる前半と、絶対値による周期部分に分ける。部分和を偶数項・奇数項で表し、零条件を合同式で判定して最初の n を決める。

(1) 漸化式に順に代入する。$a_1=3$ のとき $a_2=0,a_3=-3,a_4=0$、$a_1=4$ のとき $a_2=1,a_3=-2,a_4=-1$、$a_1=5$ のとき $a_2=2,a_3=-1,a_4=-2$ である。
(2) $a_1=3l$ のとき、$1\leqq j\leqq l+1$ では $a_j=3(l-j+1)$ である。したがってこの部分の和は $3\sum_{r=0}^{l}r=3l(l+1)/2$ で、$a_{l+1}=0$ 以後は $-3,0,-3,0,\ldots$ と続く。$L=l(l+1)/2$ とおくと、末尾から $2q$ 項加えた和は $3L-3q$、$2q+1$ 項加えた和は $3L-3(q+1)$ である。$L\geqq1$ なので最初に零になるのは末尾を $2L-1$ 項加えたときである。よって $n=l+1+(2L-1)=l(l+2)$。
(3) $a_1=3l-1$ のとき、最初の $l$ 項は $3l-1,3l-4,\ldots,2$ で、その和は $T=l(3l+1)/2$ である。その後は $-1,-2,-1,-2,\ldots$ と続く。末尾を $2q$ 項加えた和は $T-3q$、$2q+1$ 項加えた和は $T-3q-1$ である。したがって零になるには、偶数項を加える場合は $T\equiv0\pmod3$、奇数項を加える場合は $T\equiv1\pmod3$ が必要十分である。$T\equiv2l\pmod3$ より、$l\equiv0\pmod3$ なら最初の零は末尾を $2T/3$ 項加えたときであり、$n=l+2T/3=l(3l+4)/3$。$l\equiv2\pmod3$ なら最初の零は末尾を $2(T-1)/3+1$ 項加えたときであり、$n=l+2(T-1)/3+1=(3l^2+4l+1)/3$。$l\equiv1\pmod3$ ではどちらの合同条件も満たさず、和が零になる $n$ はない。
(4) $a_1=3l-2$ のとき、最初の $l$ 項は $3l-2,3l-5,\ldots,1$ で、その和は $T=l(3l-1)/2$ である。その後は $-2,-1,-2,-1,\ldots$ と続く。末尾を $2q$ 項加えた和は $T-3q$、$2q+1$ 項加えた和は $T-3q-2$ である。零になるには、偶数項を加える場合は $T\equiv0\pmod3$、奇数項を加える場合は $T\equiv2\pmod3$ が必要十分である。$T\equiv l\pmod3$ より、$l\equiv0\pmod3$ なら最初の零は末尾を $2T/3$ 項加えたときであり、$n=l+2T/3=l(3l+2)/3$。$l\equiv2\pmod3$ なら最初の零は末尾を $2(T-2)/3+1$ 項加えたときであり、$n=l+2(T-2)/3+1=(3l^2+2l-1)/3$。$l\equiv1\pmod3$ ではどちらの合同条件も満たさず、和が零になる $n$ はない。