II東北医科薬科大学 2023年 数学 第II問解答・解説

各袋の物理カードを区別した全600通りを基準にする。奇数条件は一の位で処理し、3の倍数は数字和の余り、7の倍数は一の位に必要な余りを表で数える。最後は一の位を1、3、7、9に限定し、3と7の倍数に包除原理を用いる。

袋A、B、C、Dのカードを物理的に区別して数えると、全事象は$4\cdot3\cdot5\cdot10=600$通りである。袋Bの1のカード2枚，袋Cの1のカード2枚も，それぞれ別のカードとして数える。
(1)\ Nが2000以上4000以下となるには，千の位が2または3である。千の位が4ならば，袋Cから引く数字は少なくとも1なのでNは4000より大きい。さらにNが奇数となるには，一の位が奇数でなければならず，袋Dの選び方は5通りである。したがって該当する場合は$2\cdot3\cdot5\cdot5=150$通りであり，確率は$\dfrac{150}{600}=\boxed{\dfrac14}$である。
(2)\ まず，千・百・十の位の数字の和の3で割った余りを数える。Aの余りの個数は$(1,2,1)$，Bは$(1,2,0)$なので，AとBの余りの個数は余り0，1，2の順に$(3,4,5)$となる。Cの余りの個数は$(1,3,1)$であるから，A，B，Cの和の余りの個数は次の通りである。$$\begin{array}{c|rrr}\text{余り}&0&1&2\\\hline A+B&3&4&5\\ A+B+C&3+4+15=22&9+4+5=18&3+12+5=20\end{array}$$袋Dの数字0から9のうち，余り0，1，2の個数はそれぞれ4，3，3である。したがって3の倍数となる場合は$22\cdot4+18\cdot3+20\cdot3=202$通りで，確率は$\dfrac{202}{600}=\boxed{\dfrac{101}{300}}$である。
Nが6の倍数となるには3の倍数かつ偶数であればよい。袋Dの偶数のうち，3で割った余りが0，1，2の数字はそれぞれ2，1，2個である。千・百・十の位の和の余りが$0,1,2$のとき、一の位に必要な余りはそれぞれ$0,2,1$である。したがって対応する偶数の個数は$2,2,1$の順となる。よって場合の数は$22\cdot2+18\cdot2+20\cdot1=100$通りであり，確率は$\dfrac{100}{600}=\boxed{\dfrac16}$である。
(3)\ まず7の倍数を数える。千・百・十の位の数字を$a,b,c$とすると，一の位dは$d\equiv-(1000a+100b+10c)\pmod7$を満たす。60通りの$(a,b,c)$について必要な余りを数えると，次の表を得る。$$\begin{array}{c|rrrrrrr}\text{必要なdの余り}&0&1&2&3&4&5&6\\\hline \text{(a,b,c)の組数}&7&7&6&10&10&10&10\\ \text{d=0,1,\ldots,9の個数}&2&2&2&1&1&1&1\end{array}$$したがって7の倍数は$7\cdot2+7\cdot2+6\cdot2+10+10+10+10=80$通りで，確率は$\dfrac{80}{600}=\boxed{\dfrac{2}{15}}$である。
2の倍数でも5の倍数でもないためには，一の位が$1,3,7,9$のいずれかでなければならない。この条件を満たす場合は各千の位につき$3\cdot5\cdot4=60$通り，計240通りである。次の表は，この240通りを千の位ごとに分け，3の倍数，7の倍数，および両方の倍数（21の倍数）の個数を数えたものである。$$\begin{array}{c|rrrrr}\text{千の位a}&\text{全候補}&\text{3の倍数}&\text{7の倍数}&\text{21の倍数}&\text{どれでもない}\\\hline 1&60&24&10&5&31\\ 2&60&16&6&3&41\\ 3&60&20&7&2&35\\ 4&60&24&7&4&33\\\hline \text{計}&240&84&30&14&140\end{array}$$よって包除原理により，2，3，5，7のいずれの倍数でもない場合は$240-84-30+14=140$通りである。その確率は$\dfrac{140}{600}=\boxed{\dfrac{7}{30}}$である。