III東北医科薬科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

$1+x^{3}$ を因数分解して部分分数分解し、平方完成して積分を評価する。(4) は $\left(\dfrac{x}{1+x^{3}}\right)'$ を使って $I$ に帰着する。

(1) $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^{2}}$ は、$x=\tan\theta$（$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$）と置換すると、$1+x^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$、$dx=\dfrac{d\theta}{\cos^{2}\theta}$ より $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}d\theta=\dfrac{\pi}{4}$ となる。よって $\boxed{\text{ア}}=4$ である。

(2) $1+x^{3}=(1+x)(x^{2}-x+1)$ とおく。与えられた式の右辺を通分すると、分子は
$$\dfrac{1}{a}\left\{x^{2}-x+1-(x+b)(x+1)\right\}=\dfrac{1}{a}\left\{(-b-2)x+(1-b)\right\}$$
となる。これが恒等的に $1$ であるから、$-b-2=0$、$\dfrac{1-b}{a}=1$ であり、$b=-2,\ a=3$ を得る。分母の二次式は $x^{2}-x+1$ だから $c=-1,\ d=1$ である。したがって $\boxed{\text{イ}}=3,\ \boxed{\text{ウエ}}=-2,\ \boxed{\text{オカ}}=-1,\ \boxed{\text{キ}}=1$ である。

(3) $q=x^{2}-x+1$ とおくと、(2) より
$$\dfrac{1}{1+x^{3}}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{x-2}{q}\right),\qquad x-2=\dfrac{1}{2}(2x-1)-\dfrac{3}{2}.$$
したがって
$$I=\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{2x-1}{q}\,dx+\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{q}\right).$$
最初の積分は $\log2$、第 2 項の積分は $\dfrac{1}{2}\left[\log q\right]_{0}^{1}=0$ である。
また $q=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$ であり、$x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$（$-\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{6}$）と置換すると、$q=\dfrac{3}{4\cos^{2}\theta}$、$dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2\cos^{2}\theta}d\theta$ より $\dfrac{dx}{q}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d\theta$ となるので、
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{q}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}.$$
よって $I=\dfrac{1}{3}\left(\log2+\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\right)$ であり、$\boxed{\text{ク}}=3,\ \boxed{\text{ケ}}=2,\ \boxed{\text{コ}}=3$ である。

(4) 商の微分により
$$\left(\dfrac{x}{1+x^{3}}\right)'=\dfrac{1-2x^{3}}{(1+x^{3})^{2}},\qquad \dfrac{1}{(1+x^{3})^{2}}=\dfrac{2}{3(1+x^{3})}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x}{1+x^{3}}\right)'.$$
したがって
$$J=\dfrac{2}{3}I+\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x}{1+x^{3}}\right]_{0}^{1}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\left(\log2+\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{9}\left(\log2+\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\right).$$
よって $\boxed{\text{サ}}=6,\ \boxed{\text{シ}}=2,\ \boxed{\text{ス}}=9,\ \boxed{\text{セ}}=2,\ \boxed{\text{ソ}}=3$ である。