2東京科学大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m(2,4)+n(3,7)=(2m+3n,\ 4m+7n)$ である。よって点 $P(x,y)$ が $L$ に属する条件は、ある整数 $m,n$ が存在して $x=2m+3n,\ y=4m+7n$ となることである。

(1)

これらの式から $n=y-2x$、$m=\dfrac{7x-3y}{2}$ を得る。$P_1(1,1)$ では $(m,n)=(2,-1)$ なので、$P_1$ は $L$ に属する。$P_2(2,1)$ では $m=\dfrac{11}{2}$ となり整数でないので、$P_2$ は $L$ に属さない。$P_3(3,1)$ では $(m,n)=(9,-5)$ なので、$P_3$ は $L$ に属する。

(2)

$y=0$ とすると $n=-2x$、$m=\dfrac{7x}{2}$ となる。$m$ が整数であるためには $x$ が偶数でなければならない。逆に $x=2t$（$t$ は整数）とすれば $m=7t$、$n=-4t$ で条件を満たす。したがって $x$ 軸上の点は $(2t,\ 0)$（$t$ は整数）である。

(3)

$L$ の点の座標はすべて整数である。整数の組 $(x,y)$ について、$m=\dfrac{7x-3y}{2}$ が整数となるのは $7x-3y$ が偶数のとき、すなわち $x$ と $y$ が同じ偶奇のときに限る。このとき $n=y-2x$ も整数である。したがって $L$ は、$x$ と $y$ が同じ偶奇である整数の点全体である。
このことから、$L$ の 0 でない点 $(x,y)$ は $x^2+y^2\geqq2$ を満たし、原点からの距離は $\sqrt2$ 以上である。
$L$ の任意の点は $\overrightarrow{\mathrm{OA'}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB'}}$ の整数倍の和で表されるので、$\overrightarrow{\mathrm{OA'}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB'}}$ はともに $\vec{0}$ ではない。実際、$\overrightarrow{\mathrm{OA'}}=\vec{0}$ とすると、$L$ の点はすべて $\overrightarrow{\mathrm{OB'}}$ の整数倍となり、同じ直線上にある。しかし $L$ は $(1,1)$ と $(1,-1)$ を含み、この 2 点は同じ直線上にない。$\overrightarrow{\mathrm{OB'}}=\vec{0}$ の場合も同様である。
よって $|\overrightarrow{\mathrm{OA'}}|\geqq\sqrt2$、$|\overrightarrow{\mathrm{OB'}}|\geqq\sqrt2$ であり、$|\overrightarrow{\mathrm{OA'}}|+|\overrightarrow{\mathrm{OB'}}|\geqq2\sqrt2$ である。
一方、$\mathrm{A'}(1,1)$、$\mathrm{B'}(1,-1)$ はともに $L$ に属する。また、$L$ の点 $(x,y)$ について $m'=\dfrac{x+y}{2}$、$n'=\dfrac{x-y}{2}$ は整数で、$(x,y)=m'(1,1)+n'(1,-1)$ と表せる。よって、この $\mathrm{A'},\mathrm{B'}$ は条件を満たし、$|\overrightarrow{\mathrm{OA'}}|+|\overrightarrow{\mathrm{OB'}}|=2\sqrt2$ である。以上より、最小値は $2\sqrt2$ である。

(4)

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,4)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(3,7)$ とする。$L$ の任意の点 $P$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$m,n$ は整数）と表せるから、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(x,y)$ について、$L$ の任意の点 $P$ に対して内積 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ が整数となることは、$2x+4y$ と $3x+7y$ がともに整数であることと同じである。
これらを $r=2x+4y$、$s=3x+7y$（$r,s$ は整数）とおく。$x+3y=s-r$ は整数である。また $2y=2(x+3y)-(2x+4y)$ より $2y$ は整数であり、$2x=r-2\cdot 2y$ より $2x$ も整数である。
よって $a=2x$、$b=2y$ はともに整数であり、$s=\dfrac{3a+7b}{2}$ が整数となるための条件は、$3a+7b$ が偶数となること、すなわち $a$ と $b$ が同じ偶奇であることである。逆に $a,b$ が同じ偶奇であれば、$r=a+2b$、$s=\dfrac{3a+7b}{2}$ はともに整数である。
点 $Q$ は $-1\leqq x\leqq1$、$-1\leqq y\leqq1$ を満たすから、$-2\leqq a\leqq2$、$-2\leqq b\leqq2$ である。
・$a,b$ がともに偶数のとき、$a,b\in\{-2,0,2\}$ で、$(x,y)\in\{-1,0,1\}^2$ の 9 点である。
・$a,b$ がともに奇数のとき、$a,b\in\{-1,1\}$ で、$\left(\pm\dfrac12,\pm\dfrac12\right)$ の 4 点である。
したがって求める点は、次の 13 点である。
$(-1,-1),\ (-1,0),\ (-1,1),\ (0,-1),\ (0,0),\ (0,1),\ (1,-1),\ (1,0),\ (1,1)$（9 点）、$\left(\dfrac12,\dfrac12\right),\ \left(\dfrac12,-\dfrac12\right),\ \left(-\dfrac12,\dfrac12\right),\ \left(-\dfrac12,-\dfrac12\right)$（4 点）。