1岡山大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

数列の第 1 項について、$S_{1}=a_{1}$ より $a_{1}=\dfrac{7}{6}(a_{1}-1)$、よって $a_{1}=7$ である。$n\geqq 2$ では $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$ であるから、$a_{n}=\dfrac{7}{6}(a_{n}-a_{n-1})$ より $a_{n}=7a_{n-1}$。よって $a_{n}=7^{n-1}a_{1}=7^{n}$。

(2)

89 桁である条件は $10^{88}\leqq 7^{n}<10^{89}$ である。常用対数をとり、与えられた $\log_{10}7=0.8451$ を用いると、
$$88\leqq 0.8451\,n<89.$$
ここで $104\cdot 0.8451=87.8904<88$、$105\cdot 0.8451=88.7355$ は 88 以上 89 未満、$106\cdot 0.8451=89.5806>89$ である。したがって $n=105$ である。

(3)

7 の累乗の 1 の位は、$7,\,9,\,3,\,1$ の順に 4 個ごとに繰り返す。$105=4\cdot 26+1$ より、$7^{105}$ の 1 の位は 7 である。

(4)

$\log_{10}(7^{105})=105\cdot 0.8451=88.7355$。また
$$\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990,\qquad \log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.7781.$$
よって $88+0.6990<88.7355<88+0.7781$、すなわち $5\cdot 10^{88}<7^{105}<6\cdot 10^{88}$ である。したがって最高位の数字は 5 である。