2岡山大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$a<0,\ b>0$ とする。2つの曲線 $C:y=\dfrac{1}{x^2+1}$ と $D:y=ax^2+b$ がある。いま、$x>0$ で $C$ と $D$ が共有点をもち、その点における2つの曲線の接線が一致しているとする。その共有点の $x$ 座標を $t$ とし、$D$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $D$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を $\pm p$ とし、$p>0$ とする。$S$ を $a$ と $p$ を用いて表せ。

(2) $a,b$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $S$ を $t$ を用いて表せ。

(4) $t>0$ の範囲で、$S$ が最大となるような $D$ の方程式を求めよ。