6日本大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1) 50

$n=1$を漸化式に代入すると、$34=5a_1-12+31=5a_1+19$となる。
よって、$a_1=3$である。

(2) 51・52・53

$c_n=a_n+\alpha n+\beta$とおくと、
$$c_{n+1}=5a_n+(\alpha-12)n+\alpha+\beta+31.$$
これが$5c_n=5a_n+5\alpha n+5\beta$となるように係数を比較すると、$\alpha-12=5\alpha,\ \alpha+\beta+31=5\beta$である。
よって、$\alpha=-3,\ \beta=7$となる。
このとき、$c_1=a_1-3+7=7$で、$c_n=7\cdot5^{n-1}$である。したがって、$a_n=7\cdot5^{n-1}+3n-7$となる。

(2) 54・55・56

前項の一般項から、$a_n+b_n=\{7\cdot5^{n-1}+b_n\}+3n-7$である。
$b_n=-7\cdot5^{n-1}$とすれば、括弧内は0となり、$a_n+b_n=3n-7$は等差数列である。
この$b_n$は初項$-7$、公比5の等比数列である。
一意性も確認すると、等比数列$b_n=Bq^{n-1}$の2階差分は$B(q-1)^2q^{n-1}$である。$a_n$の2階差分$7\cdot16\cdot5^{n-1}$をすべての$n$で打ち消すには、$q=5,\ B=-7$でなければならない。