3日本大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) 21・22

出目の順序付き組$(X,Y)$は$8^2=64$通りで等確率である。1〜8のうち3の倍数は3,6の2個、それ以外は6個である。
積$XY$が3の倍数である組は、$64-6^2=28$通りである。
積も和も3の倍数なら、一方が3の倍数であることから他方も3の倍数でなければならず、$X,Y$がともに$\{3,6\}$に属する$2^2=4$通りである。
したがって、条件付き確率は$\frac4{28}=\frac17$である。

(2) 23・24・25

3で割った余り0,1,2のカード枚数は、それぞれ2,3,3である。
和が3の倍数になるのは余りの組$(0,0),(1,2),(2,1)$だから、$2^2+3\cdot3+3\cdot3=22$通りである。
積と和がともに3の倍数である4通りを、この22通りで割り、求める条件付き確率は$\frac4{22}=\frac2{11}$である。