4日本大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) 26〜28

$\vec{n}=(u,v,1)$が$\overrightarrow{OA}=(1,1,-1),\ \overrightarrow{OB}=(2,3,3)$の両方に垂直である条件は、$u+v-1=0,\ 2u+3v+3=0$である。
第1式の2倍を第2式から引いて$v+5=0$、よって$v=-5,\ u=6$となる。
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$は平行でないので、両方に垂直な非零ベクトル$\vec{n}$は平面の法線である。平面の方程式は$6x-5y+z=0$である。

(2) 29〜31

垂線の足$H$は$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}-\lambda\vec{n}$と表せる。平面が原点を通るので、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{OH}=0$である。
$$\lambda=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{OC}}{|\vec{n}|^2} =\frac{6\cdot10-5\cdot0+2}{36+25+1}=\frac{62}{62}=1.$$
よって、$H=(10,0,2)-(6,-5,1)=(4,5,1)$となる。$6\cdot4-5\cdot5+1=0$で、平面上にあることも確認できる。

(3) 32〜36

直線$\ell$は、$(x,y,z)=(10-12t,24t,2+6t)$と表せる。
平面の式に代入すると、$6(10-12t)-5\cdot24t+2+6t=62-186t=0$となる。
よって、$t=\frac13$で$P=(6,8,4)$である。
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OB}$とおくと、$s+2u=6,\ s+3u=8,\ -s+3u=4$である。
前2式から$u=2,\ s=2$であり、第3式も成立する。したがって、$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$である。