2日本大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) 13・14・15

正三角形の頂点の向きが$O,A,B$の順に反時計回りなので、$OA$を反時計回りに$\frac\pi3$回転すると$OB$となる。
したがって、
$$\beta=\alpha\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right) =(3\sqrt3-i)\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right).$$
展開すると、$\beta=\frac{3\sqrt3+\sqrt3}{2}+\frac{9-1}{2}i=2\sqrt3+4i$となる。

(2) 16〜20

$\gamma=-2i$とおくと、$A$中心の回転により$\gamma-\alpha=(\beta-\alpha)(\cos\theta+i\sin\theta)$である。
したがって、求める複素数は、
$$\begin{aligned} \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} &=\frac{-3\sqrt3-i}{-\sqrt3+5i}\\ &=\frac{(-3\sqrt3-i)(-\sqrt3-5i)}{3+25}\\ &=\frac{4+16\sqrt3\,i}{28} =\frac17+\frac{4\sqrt3}{7}i. \end{aligned}$$$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{-3\sqrt{3}-i}{-\sqrt{3}+5i}$$$$=\frac{(-3\sqrt{3}-i)(-\sqrt{3}-5i)}{3+25}$$$$=\frac{4+16\sqrt{3}i}{28}=\frac{1}{7}+\frac{4\sqrt{3}}{7}i.$$
その絶対値の平方は$\frac1{49}+\frac{48}{49}=1$であり、回転の倍率条件も満たす。