1日本大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 1・2・3

$a=BC,\ b=CA,\ c=AB$とおく。余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$と、条件$c^2=a^2+b^2+\sqrt2\,ab$を比較し、$\cos C=-\frac{\sqrt2}{2}$となる。
三角形の内角$0^\circ<C<180^\circ$より、$C=135^\circ$である。

(2) 4・5

$x\to0$では、$\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sin3x}{3x}\to3$である。
$x>0$では$-\frac1x\leqq\frac{\sin3x}{x}\leqq\frac1x$なので、$x\to\infty$で両端が0となり、はさみうちの原理から極限は0である。

(3) 6

$y=16-x$として、$xy=x(16-x)\geqq48$である。
整理して$(x-4)(x-12)\leqq0$、よって$4\leqq x\leqq12$となる。
$x$は整数なので$4,5,\ldots,12$の9通りで、それぞれ$y=16-x$が一意に定まる。$(x,y)$は順序付きの組である。

(4) 7・8・9・10

円は$(x-2)^2+(y+3)^2=7$であり、中心は$(2,-3)$、半径は$\sqrt7$である。
同じ円の弦は中心を通るとき直径となり、長さが最大である。直線$y=2x+k$が中心を通る条件は$-3=4+k$、すなわち$k=-7$である。
このとき、長さは直径$2\sqrt7$で、異なる2交点の条件も満たす。

(5) 11・12

底の変換より、$\frac{\log_5 7}{\log_5 3}=\log_3 7$である。
したがって、$\log_3(7x)=3\log_3 7=\log_3(7^3)$となる。真数の一致から$7x=343$、よって$x=49$である。
$x>0$なので、真数$7x>0$も満たす。