5日本大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 37〜42

$0\leqq t\leqq\frac\pi2$で、$0\leqq3t\leqq\frac{3\pi}2$である。$x=1-2\cos3t$は$\cos3t=-1$、すなわち$t=\frac\pi3$で最大3となり、その点の$y=\sin\frac{2\pi}3=\frac{\sqrt3}{2}$である。
$y=\sin2t$は$0\leqq2t\leqq\pi$で、$t=\frac\pi4$のとき最大1である。その点の$x=1-2\cos\frac{3\pi}4=1+\sqrt2$となる。

(2) 43〜46

$t=\frac\pi6$では、$P=(1,\frac{\sqrt3}{2})$である。$x'=6\sin3t,\ y'=2\cos2t$なので、接線の傾きは$\frac16$である。
接線は$y-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x-1}{6}$、すなわち$y=\frac x6+\frac{3\sqrt3-1}{6}$である。
$x$切片は$1-3\sqrt3<0$、$y$切片は$\frac{3\sqrt3-1}{6}>0$である。
両軸と囲む三角形の面積は、
$$\frac12(3\sqrt3-1)\frac{3\sqrt3-1}{6} =\frac{28-6\sqrt3}{12}=\frac73-\frac{\sqrt3}{2}$$
である。

(3) 47〜49

$y=\sin2t\geqq0$で、始点は$(-1,0)$、終点は$(1,0)$である。曲線は途中の$t=\frac\pi3$で$x$が最大となり折り返すが、積分$\int y\,dx$ではその向きを含める必要がある。
$y(t)=y(s)$で$0\leqq t<s\leqq\frac\pi2$なら、$s=\frac\pi2-t$である。$x(t)=x(s)$の条件は$-\cos3t=\sin3t$となり、$t=\frac\pi4$しかなく$t=s$となるため、異なる媒介変数での自己交点はない。
したがって、$x$軸と合わせて単純閉曲線をなし、面積は
$$\begin{aligned} \int_0^{\frac\pi2}y(t)x'(t)\,dt &=6\int_0^{\frac\pi2}\sin2t\sin3t\,dt\\ &=3\int_0^{\frac\pi2}(\cos t-\cos5t)\,dt\\ &=3\left[\sin t-\frac{\sin5t}{5}\right]_0^{\frac\pi2}\\ &=3\left(1-\frac15\right)=\frac{12}{5} \end{aligned}$$$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y(t)x^{\prime }(t)dt=6{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2t\sin 3tdt$$$$=3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos t-\cos 5t)dt$$$$=3{\left[\sin t-\frac{\sin 5t}{5}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$$$$=3\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{5}$$
となる。