3日本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

PとQの偏角が直交条件で定まることを利用して、双曲線上にQが存在する条件と逆距離平方の和を極座標で計算する。最後に直角三角形と二乗の不等式で距離を最小化し、等号を満たす点を構成する。

$P$ の極座標を $(r,\theta)$ とし、$Q$ の極座標を $(s,\phi)$ とする。$r=OP>0,\ s=OQ>0$ であり、$OP\perp OQ$ なので、$\phi$ は $\theta$ と $\pi/2$ だけ異なる。したがって
$$\cos^2\phi=\sin^2\theta,\qquad \sin^2\phi=\cos^2\theta.$$

(1) P が双曲線上にあることから
$$r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{4}-\frac{\sin^2\theta}{9}\right)=1.$$
$Q$ が同じ双曲線上に取れるためには、$Q$ の方向での係数
$$\frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}$$
が正でなければならず、正ならば $s$ をその係数の逆平方根に取れる。さらに垂直な二方向のうち $x$ 座標が正の方を選ぶと、双曲線の式から $x_Q\geqq2$ となる。よって必要十分条件は
$$\frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}>0 \quad\text{すなわち}\quad 9\sin^2\theta>4\cos^2\theta.$$
$P=(x,y)$ とすると $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ であるから、これは $9y^2>4x^2$ と同値である。双曲線の式から $y^2=\frac94(x^2-4)$ なので、
$$9\cdot\frac94(x^2-4)>4x^2 \quad\text{すなわち}\quad 65x^2>324.$$
もともと $x\geqq2$ であり、$18/\sqrt{65}>2$ だから、求める範囲は
$$x>\frac{18}{\sqrt{65}}.$$
等号では $Q$ の方向の係数が0となり、有限の $s$ は存在しない。

(2) P と Q の双曲線の式を極座標で表すと
$$\frac1{OP^2}=\frac{\cos^2\theta}{4}-\frac{\sin^2\theta}{9},\qquad \frac1{OQ^2}=\frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}.$$
したがって
$$\frac1{OP^2}+\frac1{OQ^2} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{4} -\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{9} =\frac14-\frac19=\frac5{36}.$$

(3) $OP\perp OQ$ より $PQ^2=OP^2+OQ^2$ である。また
$$\frac{OP^2}{OQ^2}+\frac{OQ^2}{OP^2}-2 =\frac{(OP^2-OQ^2)^2}{OP^2OQ^2}\geqq0$$
だから
$$(OP^2+OQ^2)\left(\frac1{OP^2}+\frac1{OQ^2}\right) =2+\frac{OP^2}{OQ^2}+\frac{OQ^2}{OP^2}\geqq4.$$
等号は $OP=OQ$ のときに成り立つ。(2)を使うと
$$PQ^2=OP^2+OQ^2\geqq\frac{4}{5/36}=\frac{144}{5}, \qquad PQ\geqq\frac{12}{\sqrt5}.$$
この等号は実際に達成できる。$P=(6/\sqrt5,6/\sqrt5)$、$Q=(6/\sqrt5,-6/\sqrt5)$ とすると、両点は $x\geqq2$ の双曲線上にあり、$OP\perp OQ$、$OP=OQ$ である。このとき $PQ=12/\sqrt5$ となるので、これが最小値である。