2日本大学 2023年 数学 第2問解答・解説

交点条件を多項式に直して一意性を確認する。曲線の導関数から接線を求め、切片から三角形の面積を表した後、微分の符号で最小値を決める。

(1) 交点の $x$ 座標を $x$ として二つの式を等しくし、$x\ne0$ に注意して $x$ を掛けると
$$ax^3-ax^2+(2-2a)x-4=0.$$
左辺は
$$(x-2)(ax^2+ax+2)$$
と因数分解できる。二次式の判別式は
$$a^2-8a=a(a-8)<0\qquad(0<a<8)$$
なので、実数解は $x=2$ だけである。対応する $y$ 座標は $P$ に代入して $2+2a$ となり、交点は $N=(2,2+2a)$ である。

(2) $P$ の導関数は $2ax-a$、$H$ の導関数は $-4/x^2$ である。したがって、点 $N$ における接線の傾きはそれぞれ
$$3a,\qquad -1.$$
二直線が垂直に交わる条件は傾きの積が $-1$ であるから
$$(3a)(-1)=-1,\qquad a=\frac13.$$

(3) 接線の方程式は
$$\ell:\ y=3ax+2-4a,\qquad m:\ y=-x+4+2a.$$
それぞれの $x$ 軸との交点の $x$ 座標は
$$x_\ell=\frac{4a-2}{3a},\qquad x_m=4+2a.$$
$a>0$ で $x_\ell<2<x_m$ だから、三角形の底辺は
$$x_m-x_\ell=\frac83+2a+\frac{2}{3a},$$
高さは $2+2a$ である。よって
$$\begin{aligned} S(a)&=\frac12\left(\frac83+2a+\frac{2}{3a}\right)(2+2a)\\ &=2a^2+\frac{14}{3}a+\frac{10}{3}+\frac{2}{3a}. \end{aligned}$$$$S(a)=\frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}+2a+\frac{2}{3a}\right)(2+2a)$$$$=2a^2+\frac{14}{3}a+\frac{10}{3}+\frac{2}{3a}.$$
$a>0$ に対し
$$S'(a)=4a+\frac{14}{3}-\frac{2}{3a^2} =\frac{2(3a-1)(2a+1)(a+1)}{3a^2}.$$
分母と $2a+1,\ a+1$ は正なので、導関数は $a<1/3$ で負、$a>1/3$ で正となる。したがって最小値は $a=1/3$ で取り、
$$S\left(\frac13\right)=\frac{64}{9}.$$