6日本大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1) fの最大値

まず $x$ を定数として $t$ について積分する。
$$\begin{aligned} f(x)&=\int_0^x\{t^3-(x+1)t^2+xt\}\,dt\\ &=\frac{x^4}{4}-\frac{(x+1)x^3}{3}+\frac{x^3}{2}\\ &=-\frac{x^4}{12}+\frac{x^3}{6}. \end{aligned}$$$$f(x)={\int }_0^x\{t^3-(x+1)t^2+xt\}dt$$$$=\frac{x^4}{4}-\frac{(x+1)x^3}{3}+\frac{x^3}{2}$$$$=-\frac{x^4}{12}+\frac{x^3}{6}.$$
$$f^{\prime}(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2(3-2x)}6.$$
$x<\frac32$ では、$x=0$ で導関数が $0$ になるだけで $f$ は増加し、$x>\frac32$ では減少する。
また $x\to\pm\infty$ で $f(x)\to-\infty$ なので、全実数上の最大値は $x=\frac32$ で達成される。
$$f\left(\frac32\right)=\frac{\left(\frac32\right)^3\left(2-\frac32\right)}{12}=\frac9{64}.$$

(1) f″の最大値

前項の式をもう一度微分すると
$$f^{\prime\prime}(x)=-x^2+x=-\left(x-\frac12\right)^2+\frac14.$$
したがって全実数上の最大値は $\frac14$ で、$x=\frac12$ で達成される。

(2) 面積

$f(x)=\frac{x^3(2-x)}{12}$ より $x$ 軸との交点は $x=0,2$。$0<x<2$ で $f(x)>0$ であり、これ以外に有界な囲まれた部分はない。したがって
$$\begin{aligned} S&=\int_0^2f(x)\,dx=\left[-\frac{x^5}{60}+\frac{x^4}{24}\right]_0^2\\ &=-\frac8{15}+\frac23=\frac2{15}. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^{2}f(x)dx={\left[-\frac{x^5}{60}+\frac{x^4}{24}\right]}_0^2$$$$=-\frac{8}{15}+\frac{2}{3}=\frac{2}{15}.$$

(2) 体積

$x$ 軸回転の体積は
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^2f(x)^2\,dx\\ &=\frac\pi{144}\int_0^2x^6(2-x)^2\,dx\\ &=\frac\pi{144}\left[\frac{4x^7}{7}-\frac{x^8}{2}+\frac{x^9}{9}\right]_0^2\\ &=\frac\pi{144}\left(\frac{512}{7}-128+\frac{512}{9}\right)\\ &=\frac{8\pi}{567}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{2}f(x{)}^{2}dx$$$$=\frac{\pi }{144}{\int }_0^2{x}^6(2-x{)}^{2}dx$$$$=\frac{\pi }{144}{\left[\frac{4x^7}{7}-\frac{x^8}{2}+\frac{x^9}{9}\right]}_0^2$$$$=\frac{\pi }{144}\left(\frac{512}{7}-128+\frac{512}{9}\right)$$$$=\frac{8\pi }{567}.$$