1日本大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

ド・モルガンの法則より、$\overline{\overline A\cup B}=A\cap\overline B=\{5,8\}$。
また $\overline A\cap\overline B=\{1,4,7,9\}$ であり、$B$ の補集合は $A$ に属する部分と属さない部分に分けられるので
$$\begin{aligned} \overline B&=(A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap\overline B)\\ &=\{1,4,5,7,8,9\}. \end{aligned}$$$$\overline{B}=(A\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap \overline{B})$$$$=\{1,4,5,7,8,9\}.$$
$U$ から除いて $B=\{2,3,6\}$ となる。よって最大は $6$。

(2)

$u=|x|\geqq0$ とおくと $x^2=u^2$ なので、方程式は
$$u^2-u-6=(u-3)(u+2)=0.$$
$u\geqq0$ より $u=3$ だけが許され、$|x|=3$ より $x=\pm3$ である。

(3)

$2x+11y=5$ の一つの整数解は $(x,y)=(8,-1)$。一般の整数解は
$$x=8+11t,\qquad y=-1-2t\qquad(t\text{ は整数})$$
と書ける。実際、$2(x-8)=-11(y+1)$ から $11,2$ の互いに素であることを用いればこの形が得られる。
$x+y=7+9t$ なので、$100<7+9t<500$ から
$$\frac{93}{9}<t<\frac{493}{9}.$$
したがって $t=11,12,\ldots,54$ で、$54-11+1=44$ 組となる。

(4)

求める直線を $y=m(x-3)+1$ とおく。原点からの距離が円の半径 $\sqrt5$ に等しいので
$$\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5.$$
二乗して整理すると
$$4m^2-6m-4=0,\qquad(2m+1)(m-2)=0.$$
正の傾きは $m=2$ なので、方程式は $y=2x-5$ である。

(5)

すべての等式の常用対数をとると
$$x\log2=1,\qquad y\log4=1,\qquad z\log5=1.$$
よって $\frac1x=\log2,\ \frac1y=\log4=2\log2,\ \frac1z=\log5=1-\log2$。したがって
$$\frac1x-\frac1y-\frac1z=\log2-2\log2-(1-\log2)=-1.$$