5日本大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

公比を $r=\tan\frac\theta2$ とおくと $a_n=r^n$ である。$\theta=-\frac\pi{12}$ のとき $\frac\theta2=-\frac\pi{24}$ なので、$\tan$ の単調増加性と $-\frac\pi4<-\frac\pi{24}<0$ より $-1<r<0$。したがって $|r|<1$ であるから $r^n\to0$ となる。

(2)

実数 $r$ について $r^n$ が収束するのは $-1<r\leqq1$ のとき。このうち $|r|<1$ では無限等比級数も収束するので、「数列は収束するが級数は収束しない」を満たすのは $r=1$ だけである。
$-\pi<\theta<\pi$ より $-\frac\pi2<\frac\theta2<\frac\pi2$ であり、この範囲で $\tan\frac\theta2=1$ となるのは $\frac\theta2=\frac\pi4$、すなわち $\theta=\frac\pi2$。そのとき $a_n=1$ なので数列の極限は $1$、級数の部分和は $n$ となって発散する。

(3) θ=π/3

$r=\tan\frac\pi6=\frac1{\sqrt3}$ であり、$|r|<1$ なので
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac r{1-r}=\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2}.$$

(3) θ=π/6

加法定理より $\tan\frac\pi{12}=\tan\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)=2-\sqrt3$。$0<2-\sqrt3<1$ なので級数は収束し、
$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}a_n&=\frac{2-\sqrt3}{1-(2-\sqrt3)}=\frac{2-\sqrt3}{\sqrt3-1}\\ &=\frac{(2-\sqrt3)(\sqrt3+1)}2=\frac{\sqrt3-1}{2}. \end{aligned}$$$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{2-\sqrt{3}}{1-(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$$$=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$