2日本大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$z=u+vi$（$u,v$ は実数）とおくと、$z+\overline z=2u=-4$ より $u=-2$。$|z+6|=2\sqrt7$ を二乗して
$$(u+6)^2+v^2=28.$$
$u=-2$ より $16+v^2=28,\ v^2=12$ なので $v=\pm2\sqrt3$。よって $z=-2\pm2\sqrt3i$。

(2)

$|z|=4$ であり、偏角は $\pm\frac{2\pi}{3}$ ととれる。ド・モアブルの定理より
$$z^n=4^n\left(\cos\frac{2n\pi}{3}\pm i\sin\frac{2n\pi}{3}\right).$$
これが実数となる条件は $\sin\frac{2n\pi}{3}=0$、すなわち $\frac{2n}{3}$ が整数となること。$n$ が自然数なので、最小値は $n=3$。
このとき $z^3=4^3(\cos2\pi\pm i\sin2\pi)=64$ である。