4日本大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)

$\overrightarrow{OA}=a,\ \overrightarrow{OC}=b,\ \overrightarrow{OD}=d$ を基底にとる。平行六面体なので、この三つのベクトルは1次独立である。この基底による座標で
$$\begin{gathered} O=(0,0,0),\quad A=(1,0,0),\quad C=(0,1,0),\\ D=(0,0,1),\quad F=(1,1,1),\quad H=\left(0,\frac12,0\right) \end{gathered}$$$$O=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0),$$$$D=(0,0,1),F=(1,1,1),H=\left(0,\frac{1}{2},0\right)$$
となる。平面 $ADH$ の方程式は $X+2Y+Z=1$。対角線 $OF$ 上の点は $(X,Y,Z)=(t,t,t)$ と表されるので、交点 $P$ では $4t=1,\ t=\frac14$。したがって $\frac{OP}{OF}=\frac14$。

(2)

前問と同じ基底座標を用いる。$G=(0,1,1)$ であり、$DI:IG=3:1$ より $I=\left(0,\frac34,1\right)$。
$A=(1,0,0),\ H=\left(0,\frac12,0\right),\ I=\left(0,\frac34,1\right)$ を通る平面 $AHI$ は
$$X+2Y-\frac Z2=1.$$
辺 $EF$ 上の点は $(1,u,1)$ なので、$J$ では $1+2u-\frac12=1,\ u=\frac14$。したがって $EJ=\frac14EF=\frac14AB$。
$\triangle AEJ$ の二辺 $AE,EJ$ が作る面積は、同じ方向の二辺 $AE,AB$ が作る平行四辺形 $ABFE$ の面積の $\frac12\times\frac14$ 倍である。
よって $\frac{S_1}{S_2}=\frac18$ となる。基底座標は直交座標である必要はなく、同じ平面内の面積比を用いている。

(3)

$Q$ は $OF$ 上で平面 $AHI$ にあるので、$(X,Y,Z)=(t,t,t)$ をその平面式へ代入して
$$t+2t-\frac t2=1,\qquad t=\frac25.$$
したがって $\frac{OP}{OF}=\frac14,\ \frac{OQ}{OF}=\frac25$ であり、$0<\frac14<\frac25<1$ から点の順は $O,P,Q,F$ となる。
$$\begin{aligned} OP:PQ:QF&=\frac14:\left(\frac25-\frac14\right):\left(1-\frac25\right)\\ &=\frac5{20}:\frac3{20}:\frac{12}{20}=5:3:12. \end{aligned}$$$$OP:PQ:QF=\frac{1}{4}:\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{2}{5}\right)$$$$=\frac{5}{20}:\frac{3}{20}:\frac{12}{20}=5:3:12.$$