6日本大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1) 極大値と極小値

分母 $x^2+3$ は常に正なので、すべての実数で微分できる。
$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(2x-3)(x^2+3)-2x(x^2-3x)}{(x^2+3)^2}\\ &=\frac{3(x+3)(x-1)}{(x^2+3)^2}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-3)(x^2+3)-2x(x^2-3x)}{(x^2+3{)}^2}$$$$=\frac{3(x+3)(x-1)}{(x^2+3{)}^2}.$$
したがって、$x<-3$ で増加、$-3<x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。
よって、$x=-3$ で極大値 $f(-3)=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$、$x=1$ で極小値 $f(1)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ をとる。

(2) x軸で囲まれた面積

$f(x)=\frac{x(x-3)}{x^2+3}$ は $0<x<3$ で負であり、$x$ 軸との交点は $x=0,3$ である。
したがって囲まれた面積は
$$S=\int_0^3\left(-1+\frac{3x}{x^2+3}+\frac3{x^2+3}\right)dx.$$
第2項の積分は
$$\int_0^3\frac{3x}{x^2+3}\,dx =\frac32[\log(x^2+3)]_0^3=3\log2.$$
第3項には $x=\sqrt3\tan t$ と置く。
$0\leqq x\leqq3$ は $0\leqq t\leqq\frac\pi3$ に対応し、
$dx=\sqrt3(1+\tan^2t)\,dt$ だから
$$\int_0^3\frac3{x^2+3}\,dx =\sqrt3\int_0^{\pi/3}1\,dt =\frac{\sqrt3\pi}{3}.$$
以上より
$$S=3\log2+\frac{\sqrt3\pi}{3}-3.$$
したがって空欄57〜61は順に3、2、3、3、3である。