3日本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 最大値と最小値

加法定理で整理すると、
$$f(x)=-\frac{1}{2}\sin x+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cos x=\sqrt{7}\cos(x+\delta),$$
ここで $0<\delta<\frac{\pi}{2}$、$\sin\delta=\frac{1}{2\sqrt{7}},\ \cos\delta=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ とする。
$x+\delta$ の範囲は $[\delta,\pi+\delta]$ であり、$\pi$ を含むので、最小値 $-\sqrt{7}$ をとる。
余弦はこの区間で $\pi$ まで減少し、その後増加するので、最大値は両端のどちらかである。
$f(0)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\ f(\pi)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ だから、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

(2) 最小点でのsin2x

前半から、最小値をとるのは $x_m+\delta=\pi$、すなわち $x_m=\pi-\delta$ である。
したがって、
$$\begin{aligned} \sin2x_m&=\sin(2\pi-2\delta)=-\sin2\delta\\ &=-2\sin\delta\cos\delta\\ &=-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\ &=-\frac{3\sqrt{3}}{14}. \end{aligned}$$$$\sin 2x_m=\sin (2\pi -2\delta )=-\sin 2\delta$$$$=-2\sin \delta \cos \delta$$$$=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{7}}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$$$$=-\frac{3\sqrt{3}}{14}.$$