1日本大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 重解の条件

方程式を左辺に集めると、$x^2+(4a-1)x-4a=(x-1)(x+4a)=0$ となる。
二根は $1,-4a$ なので、重解の条件は $-4a=1$ である。
したがって、$a=-\frac{1}{4}$、重解は $x=1$ である。

(2) 円と直線の共通弦の長さ

円の中心は $(1,2)$、半径は $3$ である。
中心から直線 $x-y-1=0$ までの距離は $\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ である。
中心から弦の中点に下ろした垂線を用いると、半弦長は $\sqrt{3^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}$ となる。
したがって、弦長は $2\sqrt{7}$ である。

(3) 6の20乗の桁数

常用対数を取ると
$$\log_{10}(6^{20})=20(\log_{10}2+\log_{10}3) =20(0.3010+0.4771)=15.562.$$
従って $10^{15}<6^{20}<10^{16}$ なので16桁。

(4) 複素根と実係数

係数が実数なので $-2+i$ の共役 $-2-i$ も根。
根と係数の関係から $-a=(-2+i)+(-2-i)=-4$、
$b=(-2+i)(-2-i)=4+1=5$。
従って $a=4,b=5$。

(5) 円板内の点から定点までの距離の二乗

条件は、中心 $C=(1,-2)$、半径 $\sqrt{5}$ の閉円板である。
式 $(x-4)^2+(y-4)^2$ は、点 $X=(x,y)$ と定点 $D=(4,4)$ の距離の二乗である。
$CD=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$ である。
三角不等式より、$DX\geqq CD-CX\geqq3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ となる。
$C$ から $D$ に向かう半径方向の境界点 $X=C+\frac{D-C}{3}=(2,0)$ で等号が成立する。
したがって、距離の二乗の最小値は $(2\sqrt{5})^2=20$ である。