5日本大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) 重心の位置ベクトル

内分点の公式より、
$$\overrightarrow{OL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA},\qquad \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}.$$
三角形の重心の位置ベクトルは三頂点の平均なので、三つを足して $3$ で割れば、上記の式となる。

(2) OPとOGの比

$\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OG}$ とおく。
四面体なので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立であり、点が平面 $ABC$ 上にある必要十分条件は三係数の和が $1$ であることである。
よって、
$$t\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}\right)=\frac{t}{3}=1.$$
したがって、$t=3>0$ であり、$\frac{OP}{OG}=3$ である。
このとき、
$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}.$$

(3) 三四面体の体積比

元の四面体の体積を $V$ とする。
$OPAB$ と $OABC$ は底面 $OAB$ が共通であり、$P$ の $\overrightarrow{OC}$ 成分が $\frac{1}{6}$ なので、高さ比から $V_1=\frac{V}{6}$ となる。
同様に、底面 $OBC$ に関しては $\overrightarrow{OA}$ 成分が $\frac{1}{2}$ なので $V_2=\frac{V}{2}$ となる。
底面 $OCA$ に関しては $\overrightarrow{OB}$ 成分が $\frac{1}{3}$ なので $V_3=\frac{V}{3}$ となる。
したがって、体積比は
$$\frac{1}{6}:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=1:3:2.$$
三体積の和も $V$ に一致する。