2日本大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) あいこがちょうど三回の確率

各回の両者の手は独立に等確率で出す標準的なじゃんけんモデルを用いる。
あいこの確率は $\frac{1}{3}$、あいこでない確率は $\frac{2}{3}$ である。
$5$ 回のうち $3$ 回の位置を選ぶと、
$$P={}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{40}{243}.$$

(2) あいこがちょうど三回連続する確率

連続するあいこのかたまりの長さがちょうど $3$ になる場合を数える。ほかに孤立したあいこがあることは除外されていない。
長さ $3$ の連続あいこが始まる位置によって分ける。
- $1$ 回目から始まる場合: $1$〜$3$ 回目があいこ、$4$ 回目は非あいこ、$5$ 回目は自由である。確率は $\left(\frac{1}{3}\right)^3\frac{2}{3}=\frac{2}{81}$。
- $2$ 回目から始まる場合: $1,5$ 回目は非あいこ、$2$〜$4$ 回目があいこである。確率は $\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{4}{243}$。
- $3$ 回目から始まる場合: $1$ 回目は自由、$2$ 回目は非あいこ、$3$〜$5$ 回目があいこである。確率は $\frac{2}{81}$。
これらは互いに排反なので、和を取ると、
$$P=\frac{2}{81}+\frac{4}{243}+\frac{2}{81}=\frac{16}{243}.$$
$4$ 回または $5$ 回連続する場合は、隣接する非あいこの条件で除いている。