4日本大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 五回後の面積

一回の操作で、各頂点から切り取られる三角形は、元の三角形に対し隣接二辺上の比の積 $p(1-p)$ 倍の面積を持つ。
三つを引くと、新しい三角形の面積比は
$$r=1-3p(1-p)=3p^2-3p+1.$$
各段階で同じ比が成り立つので、$S_n=r^nS$ である。
$p=\frac{1}{2}$ では $r=\frac{1}{4}$ だから、$S_5=\frac{4096}{4^5}=4$ となる。

(2) 面積の有限和

$p=\frac{1}{3}$ のとき、$r=\frac{3}{9}-1+1=\frac{1}{3}$ である。
したがって、等比数列の和の公式から、
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^nS_k &=S\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k\\ &=S\frac{\frac{1}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}}{1-\frac{1}{3}}\\ &=\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}S. \end{aligned}$$$$\sum _{k=1}^n{S}_k=S\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$$$$=S\frac{\frac{1}{3}\left\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right\}}{1-\frac{1}{3}}$$$$=\frac{1}{2}\left\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right\}S.$$

(3) 無限和が2S/3となるp

$0<p<1$ だから $0<p(1-p)\leqq\frac{1}{4}$、したがって $\frac{1}{4}\leqq r<1$ である。
無限等比級数は収束し、
$$\sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{r}{1-r}S.$$
これが $\frac{2S}{3}$ に等しい条件は $\frac{r}{1-r}=\frac{2}{3}$、すなわち $r=\frac{2}{5}$ である。
$$3p^2-3p+1=\frac{2}{5}\Longleftrightarrow5p^2-5p+1=0.$$
したがって、$p=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$ となる。両値とも $0$ と $1$ の間にあり、条件を満たす。