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2 広島大学 2024年 数学 第2問解答・解説 ベクトル
1 問題2 答え3 解答1 問題広島大学 2024 年度第2問
座標空間内の4点
O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O ( 0 , 0 , 0 ) 、
A ( 1 , 1 , 0 ) A(1,1,0) A ( 1 , 1 , 0 ) 、
B ( 0 , 1 , 1 ) B(0,1,1) B ( 0 , 1 , 1 ) 、
C ( 1 , 2 , − 1 ) C(1,2,-1) C ( 1 , 2 , − 1 ) に対し、
O A → = a → \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} OA = a 、
O B → = b → \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} OB = b 、
O C → = c → \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c} OC = c とおく。次の問いに答えよ。
(1) 内積
a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b 、
a ⃗ ⋅ c ⃗ \vec{a}\cdot\vec{c} a ⋅ c 、
b ⃗ ⋅ c ⃗ \vec{b}\cdot\vec{c} b ⋅ c の値を求めよ。
(2) 点
O , A , B O,A,B O , A , B を通る平面を
α \alpha α とする。点
C C C から平面
α \alpha α に下ろした垂線と平面
α \alpha α の交点を
M M M とする。点
M M M の座標を求めよ。
(3) 点
M M M を(2)で定めた点とする。点
D D D を直線
C M CM C M 上の点であって
∣ A C → ∣ = ∣ A D → ∣
\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|
AC = AD となるものとする。ただし、点
D D D は点
C C C とは異なる点である。このとき、点
D D D の座標を求めよ。
(4) 点
D D D を(3)で定めた点とする。三角形
C A D CAD C A D の面積
S S S を求めよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる (1) a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 , a ⃗ ⋅ c ⃗ = 3 , b ⃗ ⋅ c ⃗ = 1 \vec a\cdot\vec b=1,\quad\vec a\cdot\vec c=3,\quad\vec b\cdot\vec c=1 a ⋅ b = 1 , a ⋅ c = 3 , b ⋅ c = 1 。
(2) M = ( 5 3 , 4 3 , − 1 3 ) M=(\frac53,\frac43,-\frac13) M = ( 3 5 , 3 4 , − 3 1 ) 。
(3) D = ( 7 3 , 2 3 , 1 3 ) D=(\frac73,\frac23,\frac13) D = ( 3 7 , 3 2 , 3 1 ) 。
(4) S = 2 2 3 S=\frac{2\sqrt2}{3} S = 3 2 2 。
3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 (1) 成分ごとに積を足して
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 , a ⃗ ⋅ c ⃗ = 3 , b ⃗ ⋅ c ⃗ = 1 . \boxed{\vec a\cdot\vec b=1,\quad\vec a\cdot\vec c=3,\quad\vec b\cdot\vec c=1}. a ⋅ b = 1 , a ⋅ c = 3 , b ⋅ c = 1 . (2) 平面
O A B OAB O A B の点は
λ a ⃗ + μ b ⃗ = ( λ , λ + μ , μ ) \lambda\vec a+\mu\vec b=(\lambda,\lambda+\mu,\mu) λ a + μ b = ( λ , λ + μ , μ ) なので、平面の式は
x − y + z = 0 x-y+z=0 x − y + z = 0 。逆にこの式の点は
λ = x \lambda=x λ = x ,
μ = z \mu=z μ = z として表される。
n ⃗ = ( 1 , − 1 , 1 ) \vec n=(1,-1,1) n = ( 1 , − 1 , 1 ) は
a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a , b と内積0だから平面に垂直である。よって垂線上では
( x , y , z ) = ( 1 , 2 , − 1 ) + t ( 1 , − 1 , 1 ) . (x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,-1,1). ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , − 1 ) + t ( 1 , − 1 , 1 ) . 平面式へ代入すると
3 t − 2 = 0 3t-2=0 3 t − 2 = 0 。従って
M = ( 5 / 3 , 4 / 3 , − 1 / 3 ) \boxed{M=(5/3,4/3,-1/3)} M = ( 5/3 , 4/3 , − 1/3 ) 。
(3)
D = C + s ( 1 , − 1 , 1 ) D=C+s(1,-1,1) D = C + s ( 1 , − 1 , 1 ) とおく。
A C → = ( 0 , 1 , − 1 ) \overrightarrow{AC}=(0,1,-1) A C = ( 0 , 1 , − 1 ) 、
A D → = ( s , 1 − s , − 1 + s ) \overrightarrow{AD}=(s,1-s,-1+s) A D = ( s , 1 − s , − 1 + s ) なので、長さが等しい条件は
2 = s 2 + ( 1 − s ) 2 + ( − 1 + s ) 2 = 3 s 2 − 4 s + 2. 2=s^2+(1-s)^2+(-1+s)^2=3s^2-4s+2. 2 = s 2 + ( 1 − s ) 2 + ( − 1 + s ) 2 = 3 s 2 − 4 s + 2. s = 0 s=0 s = 0 は
D = C D=C D = C なので除外し
s = 4 / 3 s=4/3 s = 4/3 。従って
D = ( 7 / 3 , 2 / 3 , 1 / 3 ) \boxed{D=(7/3,2/3,1/3)} D = ( 7/3 , 2/3 , 1/3 ) 。
(4) 両辺
A C , A D AC,AD A C , A D の長さは
2 \sqrt2 2 、その内積は
− 2 / 3 -2/3 − 2/3 。挟角
θ \theta θ について
cos θ = − 1 / 3 \cos\theta=-1/3 cos θ = − 1/3 、
sin θ = 2 2 / 3 \sin\theta=2\sqrt2/3 sin θ = 2 2 /3 。ゆえに
S = 1 2 A C ⋅ A D sin θ = 2 2 3 . S=\frac12AC\cdot AD\sin\theta=\boxed{\frac{2\sqrt2}{3}}. S = 2 1 A C ⋅ A D sin θ = 3 2 2 . 読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
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