1名古屋市立大学 2023年 数学 第1問解答・解説

部分和の差から一般項を求め、常用対数で桁数を判定する。重み付き等比和は添字をずらして差を取り、有限等比数列の和に帰着する。

(1) 初項については $$a_1=S_1=3-1=2.$$ また、$n\geqq 2$ では $$a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2\cdot 3^{n-1}.$$ この式は $n=1$ のときも $a_1=2$ を与えるから、$$\boxed{a_n=2\cdot 3^{n-1}}\qquad(n=1,2,\ldots).$$
(2) (1)より $$b_{15}=3\cdot 15\cdot a_{15}=30\cdot 3^{15}.$$ したがって、与えられた常用対数を用いると $$\log_{10}b_{15}=\log_{10}30+15\log_{10}3=1+16\cdot 0.4771=8.6336.$$ よって $10^8<b_{15}<10^9$ であり、$b_{15}$ は $9$ 桁である。実際、$b_{15}=430467210$ となり、桁数も一致する。
(3) $b_k=2k3^k$ だから、$U_n=\sum_{k=1}^n k3^k$ とおけば $T_n=2U_n$ である。添字を $j=k+1$ と置き換えると $$3U_n=\sum_{k=1}^n k3^{k+1}=\sum_{j=2}^{n+1}(j-1)3^j.$$ これから $U_n=\sum_{j=1}^n j3^j$ を引くと、各 $j=2,\ldots,n$ の項は $-3^j$ となり、端の項と合わせて $$2U_n=n3^{n+1}-\sum_{j=1}^n3^j=n3^{n+1}-\frac{3^{n+1}-3}{2}=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}.$$ したがって $$\boxed{T_n=\frac{3+(2n-1)3^{n+1}}{2}}\qquad(n=1,2,\ldots).$$ 検算として $n=1$ を代入すると $T_1=6=b_1$ となる。