3金沢医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

金沢医科大学 2023年度 数学 Q3

表の配置では、行番号と列番号の和が同じ位置を一つの斜め列として読む。斜め列の長さを $m$ とすると、その位置の行・列の和は $m+1$ である。長さ $m$ の斜め列に入る数は、前までの個数
$$1+2+\cdots +(m-1)=\frac{m(m-1)}2$$
の次から、さらに $m$ 個である。三角数を $T_m=\frac{m(m+1)}2$ と書けば、この斜め列の数は $T_{m-1}+1$ から $T_m$ までとなる。

図では、長さが偶数の斜め列は上から下へ数が減り、長さが奇数の斜め列は上から下へ数が増える。

(1) $a_{15},a_{16}$

1行目の第 $j$ 列は、長さ $j$ の斜め列の一番上にある。従って
$$a_j= \begin{cases} T_{j-1}+1,&j\text{ が奇数のとき},\\ T_j,&j\text{ が偶数のとき}. \end{cases}$$
よって
$$a_{15}=T_{14}+1=\frac{14\cdot15}{2}+1=106, \qquad a_{16}=T_{16}=\frac{16\cdot17}{2}=136.$$
したがって $\boxed{a_{15}=106,\ a_{16}=136}$。

(2) 数 $200$ の位置

$$T_{19}=\frac{19\cdot20}{2}=190<200\leqq T_{20}=\frac{20\cdot21}{2}=210$$
より、200は長さ20の斜め列にある。この斜め列は上から下へ減少し、上端の数は210である。上端から200までは10つ下がるので、200は第11行にある。斜め列上では行番号と列番号の和が21だから、列番号は $21-11=10$。
$$\boxed{200\text{ は11行目の10列目}}.$$

(3) $b_n$ の式

第 $n$ 行第 $n$ 列は、行番号と列番号の和が $2n$ である斜め列にある。この斜め列の長さは $2n-1$ で奇数なので、上から下へ数が増える。斜め列の先頭は $T_{2n-2}+1$ であり、第 $n$ 行は先頭から $n-1$ 個下である。従って
$$\begin{aligned} b_n&=T_{2n-2}+1+(n-1)\\ &=\frac{(2n-2)(2n-1)}2+n\\ &=2n^2-2n+1. \end{aligned}$$$$b_n=T_{2n-2}+1+(n-1)$$$$=\frac{(2n-2)(2n-1)}{2}+n$$$$=2n^2-2n+1.$$
よって $\boxed{b_n=2n^2-2n+1}$。

(4) 1000以下の最大値

隣り合う値の差は
$$b_{n+1}-b_n=\{2(n+1)^2-2(n+1)+1\}-(2n^2-2n+1)=4n>0$$
（自然数 $n\geqq1$）なので、$b_n$ は増加する。そこで境目の値を調べると
$$b_{22}=2\cdot22^2-2\cdot22+1=925\leqq1000, \qquad b_{23}=2\cdot23^2-2\cdot23+1=1013>1000.$$
増加性より、1000を超えない最大値は $b_{22}=925$ であり、それをとる $n$ はただ一つ $22$ である。
$$\boxed{925},\qquad \boxed{n=22}.$$