3藤田医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

指数の符号で場合を分け、小さい指数は個別に調べ、三で割った余りと二で割り切れる回数を比べる。

整数 $m,n$ について、$6^m=2^n+4$ を解く。

まず $n<0$ とすると、$0<2^n<1$ より $4<2^n+4<5$ である。一方、$m\leqq0$ なら $0<6^m\leqq1$、$m\geqq1$ なら $6^m\geqq6$ であるから、等式は成り立たない。よって $n\geqq0$。

$n=0$ なら右辺は $5$ であり、$m\leqq0$ のとき左辺は $1$ 以下、$m\geqq1$ のとき左辺は $6$ 以上なので解はない。$n=1$ なら $6^m=6$ となるから $m=1$ であり、$(m,n)=(1,1)$ を得る。$n=2$ なら右辺は $8$ であるが、$m\leqq0$、$m=1$、$m\geqq2$ のそれぞれで左辺は $1$ 以下、$6$、$36$ 以上となるので解はない。

残る $n\geqq3$ では右辺が $12$ 以上だから $m\geqq2$。左辺は $3$ の倍数なので、右辺も $3$ の倍数でなければならない。$2\equiv-1\pmod3$ および $4\equiv1\pmod3$ より、$2^n+4\equiv(-1)^n+1\pmod3$。これは $n$ が奇数のときに限り $0$ となるため、$n$ は奇数である。

このとき $n-2$ は正の奇数であり、$2^{n-2}+1$ は奇数である。したがって
$$2^n+4=4(2^{n-2}+1)$$
の右辺は $2$ でちょうど $2$ 回割り切れる。一方、$6^m=2^m3^m$ で $3^m$ は奇数だから、左辺が $2$ で割り切れる回数は $m$ 回である。よって $m=2$。これを元の等式に代入すると
$$36=2^n+4,\qquad 2^n=32=2^5$$
より $n=5$。実際に $6^2=36=2^5+4$ である。以上より、解は $(m,n)=(1,1),(2,5)$ である。