4久留米大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)

時刻 1 には 2 点が独立に B、C、D から選ぶので $p_{1}=\dfrac{1}{3}$。各点は時刻 2 に A に $\dfrac{1}{3}$、B、C、D の各々に $\dfrac{2}{9}$ の確率でいるから、
$$p_{2}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+3\left(\dfrac{2}{9}\right)^{2}=\dfrac{7}{27}.$$

(2)

2 点が時刻 $n$ に一致しているとき、次の移動後に一致する確率は $\dfrac{1}{3}$。一致していないとき、各動点の移動先候補は 2 頂点を共有するため、一致確率は $\dfrac{2}{9}$ である。したがって
$$p_{n+1}=\dfrac{1}{3}p_{n}+\dfrac{2}{9}(1-p_{n})=\dfrac{1}{9}p_{n}+\dfrac{2}{9}.$$

(3)

漸化式の不動点は $\dfrac{1}{4}$ であり、$p_{0}=1$ から
$$p_{n}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n}.$$