1久留米大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$0<x\leqq y\leqq z$ とする。まず
$$\frac23=\frac1x+\frac1y+\frac1z\leqq \frac3x$$
より $x\leqq 9/2$、したがって $x=1,2,3,4$ である。$x=1$ では左辺が $1$ 以上となるため不可能。

(1)① $x$ の値

- $x=2$ のとき
$$\frac1y+\frac1z=\frac16.$$
$y\leqq z$ より $y\leqq12$、また $1/z>0$ より $y>6$。さらに
$$(y-6)(z-6)=36.$$
$y\leqq z$ なので、$y-6$ は $36$ の正の約数で $6$ 以下。したがって
$$(y,z)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12).$$

- $x=3$ のとき
$$\frac1y+\frac1z=\frac13.$$
$y\leqq z$ と $1/z>0$ より $4\leqq y\leqq6$。各場合を調べると
$$y=4\Rightarrow z=12,\qquad y=5\Rightarrow z=\frac{15}{2},\qquad y=6\Rightarrow z=6.$$
よって自然数となるのは $(y,z)=(4,12),(6,6)$。

- $x=4$ のとき
$$\frac1y+\frac1z=\frac5{12}.$$
$y\leqq z$ より $2/y\geqq5/12$ なので $y\leqq24/5$。また $y\geqq4$ だから $y=4$ のみで、このとき $z=6$。

したがって、可能な $x$ は
$$\boxed{2,3,4}.$$

(1)② $0<x\leqq y\leqq z$ を満たす組の個数

上で得た組は、$x=2$ のとき5組、$x=3$ のとき2組、$x=4$ のとき1組。合計
$$\boxed{8\text{組}}$$
である。

(2)① $x,y,z$ がすべて異なる組の個数

並べ替える前の組で3つの値が異なるものは
$$(2,7,42),\ (2,8,24),\ (2,9,18),\ (2,10,15),\ (3,4,12)$$
の5組である。各組には $3!=6$ 通りの並べ方があるから、
$$\boxed{5\cdot6=30\text{組}}.$$

(2)② 自然数の組 $(x,y,z)$ の個数

3つの値が異なる5組からは30通り。値が重複する並べ替え前の組は
$$(2,12,12),\quad(3,6,6),\quad(4,4,6)$$
の3組で、それぞれ並べ方は3通りずつ。よって合計は
$$30+3\cdot3=\boxed{39\text{組}}.$$