久留米大学／2026年度／推薦

3久留米大学 2026年数学第3問解答・解説

1問題

久留米大学2026年度第3問

n

を自然数とする。座標平面において、不等式

x>0

、

y>0

、

\log_{3}\dfrac{y}{x}\leqq x\leqq n

を満たす格子点の個数を

S_{n}

とする。

(1)

1\leqq k\leqq n

を満たす整数

k

に対し、

x=k

上にある格子点の個数を

k

で表せ。

(2)

S_{n}

を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1)

格子点では

x=k

は固定された正の整数である。不等式

\log_{3}\dfrac{y}{k}\leqq k

は

\dfrac{y}{k}\leqq 3^{k}

と同じであるから、

y

の範囲は

1\leqq y\leqq k\cdot 3^{k}

となる（

y

は正の整数）。

y

は整数なので、

x=k

上の格子点は

k\cdot 3^{k}

個である。

(2)

よって

S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 3^{k}=\dfrac{3-(n+1)3^{n+1}+n\cdot 3^{n+2}}{4}=\dfrac{3+(2n-1)3^{n+1}}{4}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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