2久留米大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1)

$f(x)=-x^{3}+2kx$ とすると $f'(x)=2k-3x^{2}$ なので、$\mathrm{P}$ における接線は

$\ell$: $y=(2k-3p^{2})x+2p^{3}$。

曲線と直線の差は $f(x)-\ell(x)=-(x-p)^{2}(x+2p)$。よって $\mathrm{P}$ 以外の交点は $\mathrm{Q}=(-2p,\,8p^{3}-4kp)=(-2p,\,4p(2p^{2}-k))$。

$\mathrm{Q}$ での接線の傾きは $2k-12p^{2}$。直交条件は $(2k-3p^{2})(2k-12p^{2})=-1$。$t=p^{2}>0$ とおくと $36t^{2}-30kt+4k^{2}+1=0$。この判別式は $36(9k^{2}-4)$ である。根が実数かつ正となる条件は、$k\geqq\dfrac{2}{3}$ である（$k\leqq-\dfrac{2}{3}$ の場合は根の和が負となり、両根が負になる）。よって求める範囲は $k\geqq\dfrac{2}{3}$。

(2)

(1) より条件を満たす $k$ の範囲は $k\geqq\dfrac{2}{3}$ である。

(3)

$p=1$ では $4k^{2}-30k+37=0$ より $k=\dfrac{15\pm\sqrt{77}}{4}$。$\mathrm{Q}$ の $y$ 座標は $4(2-k)$ なので、小さい方の $k$ で $y>0$、大きい方の $k$ で $y<0$。接線と曲線の差は $\ell-f=x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)$、よって囲まれた領域全体の面積は $\dfrac{27}{4}$。小さい方の $k$ では曲線が $-\sqrt{2k}<x<0$ で $x$ 軸より下にあり、その部分の面積 $k^{2}$ を除くため $S=\dfrac{27}{4}-k^{2}$。大きい方の $k$ では、接線の $x$ 切片は $-\dfrac{2}{2k-3}$。$x$ 軸より上の部分は、その切片から0までの三角形と $0\leqq x\leqq1$ の部分からなり、面積は $S=\dfrac{2}{2k-3}+\dfrac{3}{4}$。