III順天堂大学 2024年 数学 第III問解答・解説

各関数の逆関数を直接求めて$a_{n}$を表す。平方根の場合は差分を有限和公式に代入し、指数関数の場合は和の添字をずらして整理する。最後の不等式は微分で$\log(1+x)\leqq x$を導き、$S_{n}$の各項を評価して前問の等式と組み合わせる。

(1) $f(x)=\sqrt{x+1}$ の逆関数は、$y=\sqrt{x+1}$ を $x$ について解いて $f^{-1}(y)=y^{2}-1\ (y\geqq 0)$ である。よって
$$a_{2}=2^{2}-1=3,\qquad a_{3}=3^{2}-1=8.$$

(2) このとき $a_{k}=k^{2}-1$ なので、$a_{k+1}-a_{k}=2k+1$ である。$n\geqq 2$ に対して
$$\begin{aligned} S_{n}&=\sum_{k=1}^{n-1}k(2k+1) =2\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum_{k=1}^{n-1}k\\ &=2\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{(n-1)n}{2} =\dfrac{n(n-1)(4n+1)}{6}. \end{aligned}$$$$S_n=\sum _{k=1}^{n-1}k(2k+1)=2\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2+\sum _{k=1}^{n-1}k$$$$=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}.$$
この式は $n=1$ のときも右辺が 0 となり、定義された $S_{1}=0$ と一致する。従って、すべての正の整数 $n$ について $S_{n}=\dfrac{n(n-1)(4n+1)}{6}$ である。

(3) $f(x)=e^{x}$ の逆関数は $f^{-1}(y)=\log y\ (y>0)$ だから $a_{k}=\log k$ である。$n\geqq 2$ について和の添字をずらすと
$$\begin{aligned} S_{n}&=\sum_{k=1}^{n-1}k\{\log(k+1)-\log k\}\\ &=\sum_{j=2}^{n}(j-1)\log j-\sum_{j=1}^{n-1}j\log j\\ &=(n-1)\log n-\sum_{j=2}^{n-1}\log j\\ &=(n-1)\log n-\log\{(n-1)!\} =n\log n-\log(n!). \end{aligned}$$$$S_n=\sum _{k=1}^{n-1}k\{\log (k+1)-\log k\}$$$$=\sum _{j=2}^n(j-1)\log j-\sum _{j=1}^{n-1}j\log j$$$$=(n-1)\log n-\sum _{j=2}^{n-1}\log j$$$$=(n-1)\log n-\log \{(n-1)!\}=n\log n-\log (n!).$$
最後から 2 番目の等式では $\log 1=0$ と $\log(n!)=\sum_{j=1}^{n}\log j$ を用いた。$n=1$ では両辺とも 0 であり、等式は成り立つ。

(4) $x>0$ に対して $g(x)=x-\log(1+x)$ とおくと、
$$g(0)=0,\qquad g'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}>0$$
である。従って $\log(1+x)\leqq x$ であり、特に $k\geqq 1$ について
$$k\log\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\leqq 1.$$
(3) の等式と $a_{k}=\log k$ から、$a_{k+1}-a_{k}=\log\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$ より
$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k\log\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\leqq n-1.$$
ここに $S_{n}=n\log n-\log(n!)$ を代入して整理すると
$$\log(n!)\geqq n\log n-(n-1).$$
両辺の指数をとれば
$$n!\geqq e^{n\log n-(n-1)}=n^{n}e^{1-n}$$
を得る。$n=1$ でも等号が成り立つ。