1東京慈恵会医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

独立な3回のサイコロの順序つきの出方を数え、全216通りに対する割合を求める。

サイコロの出方は順序を区別して数え、全事象は $6^3=216$ 通りである。

積が10の倍数になるには、積が2と5の両方で割り切れることが必要十分である。出た目に5がない場合は $5^3$ 通り、偶数の目がない場合は奇数の目だけなので $3^3$ 通りである。この両方が起こる場合は出た目が1または3に限られ、$2^3$ 通りである。したがって求める場合の数は
$$6^3-5^3-3^3+2^3=216-125-27+8=72$$
であり、確率は $72/216=1/3$ である。

次に、2個の目の和は2以上12以下なので、6の倍数となるのは6または12である。和が12となるのは両方が6の場合だけである。

6が出る場合、6は2個出るとその2個の和が12になるので、ちょうど1個である。その位置は3通りある。残る2個は1から5までの目であり、その和が6となる順序つきの組は $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ の5通りだから、条件を満たす組は $5^2-5=20$ 通りである。よってこの場合は $3\cdot20=60$ 通り。

6が出ない場合、各目は1から5までである。1と5、2と4は同時に現れるとその和が6となり、3は2個現れると和が6となる。3がないとき、1と5のうち片方だけを使い、2と4のうち片方だけを使う。片方の組だけから3個選ぶ場合は4通り、両方の組から選ぶ場合は、各組で使う目を選ぶ4通りと、両方の組を使う順序の並べ方6通りの積で24通り、合計28通りである。3がちょうど1個あるとき、3の位置は3通りで、残る2個の順序つきの組は、同じ組から取るものが4通り、異なる組から取るものが8通り、合計12通りである。したがって6がない場合は $28+3\cdot12=64$ 通り。

以上より、条件を満たす出方は $60+64=124$ 通りである。求める確率は
$$\frac{124}{216}=\frac{31}{54}$$
である。分母は全216通りであり、数え上げの内訳も $60+64=124$ 通りとなる。