2東京慈恵会医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

積分では被積分関数の点ごとの評価を用い、有限和では各項を対数の差と比較して望遠和にする。

(1) $0\leqq x\leqq1$ だから $n\leqq x+n\leqq n+1$ である。対数関数は正の範囲で増加し、$n\geqq3$ より $\log n>0$ なので、
$$\frac{1}{\log(n+1)}\leqq\frac{1}{\log(x+n)}\leqq\frac{1}{\log n}.$$
これに $x\geqq0$ を掛けて $0$ から $1$ まで積分すると、
$$\frac{1}{\log(n+1)}\int_0^1x\,dx\leqq\int_0^1\frac{x}{\log(x+n)}\,dx\leqq\frac{1}{\log n}\int_0^1x\,dx.$$
$\int_0^1x\,dx=1/2$ より、求める不等式を得る。

(2) $x>0,\ x\neq1$ とし、$u=\log x$ と置くと $du=dx/x$ である。したがって、
$$\int\frac{1}{x(\log x)^2}\,dx=\int\frac{1}{u^2}\,du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{\log x}+C.$$
この式は $0<x<1$ と $x>1$ の各範囲で成り立つ。実際、その導関数は $1/[x(\log x)^2]$ である。

(3) $k\geqq3$ に対して
$$I_k=\int_0^1\frac{x}{\log(x+k)}\,dx$$
とおく。(1)を $n=k$ に適用し、正の数 $2/(k\log k)$ を掛けると、
$$\frac{1}{k\log k\log(k+1)}\leqq\frac{2I_k}{k\log k}\leqq\frac{1}{k(\log k)^2}$$
となる。

ここで $t>0$ なら
$$\log(1+t)=\int_0^t\frac{1}{1+s}\,ds$$
であり、$0\leqq s\leqq t$ で $1/(1+t)\leqq1/(1+s)\leqq1$ だから、
$$\frac{t}{1+t}\leqq\log(1+t)\leqq t$$
である。この評価を $t=1/k$ に使うと
$$\frac{1}{\log k}-\frac{1}{\log(k+1)} =\frac{\log(1+1/k)}{\log k\log(k+1)} \leqq\frac{1}{k\log k\log(k+1)}.$$
また、同じ評価を $t=1/(k-1)$ に使えば $\log(k/(k-1))\geqq1/k$ である。さらに $0<\log(k-1)<\log k$ なので、
$$\frac{\log(k-1)}{k\log k}<\frac{1}{k}\leqq\log\frac{k}{k-1}.$$
両辺を正の $\log(k-1)\log k$ で割ると
$$\frac{1}{k(\log k)^2}\leqq\frac{1}{\log(k-1)}-\frac{1}{\log k}.$$
以上から、各 $k=n,n+1,\ldots,m$ で
$$\frac{1}{\log k}-\frac{1}{\log(k+1)} \leqq\frac{2I_k}{k\log k} \leqq\frac{1}{\log(k-1)}-\frac{1}{\log k}.$$
これらを辺々加えると中間の項が消去され、
$$\frac{1}{\log n}-\frac{1}{\log(m+1)} \leqq\sum_{k=n}^{m}\frac{2}{k\log k}\int_0^1\frac{x}{\log(x+k)}\,dx \leqq\frac{1}{\log(n-1)}-\frac{1}{\log m}$$
を得る。$n\geqq3$ なので、ここで現れる全ての対数の分母は正である。