4東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ と置くと、$x^2+y^2=r^2>0$ で
$$P=(x,y,0),\qquad Q=\left(\frac{x}{r^2},\frac{y}{r^2},0\right).$$
直線 $AP$ 上の点は
$$A+\lambda(P-A)=(\lambda x,\lambda y,1-\lambda),$$
直線 $BQ$ 上の点は
$$B+\mu(Q-B)=\left(\frac{\mu x}{r^2},\frac{\mu y}{r^2},-1+\mu\right)$$
と表せる。交点では最初の2座標が一致し、$(x,y)\ne(0,0)$ なので
$$\lambda=\frac{\mu}{r^2}.$$
第3座標の一致条件は $1-\lambda=-1+\mu$、すなわち $\lambda+\mu=2$。これを解くと
$$\lambda=\frac{2}{1+r^2},\qquad \mu=\frac{2r^2}{1+r^2}.$$
したがって
$$a=\frac{2r\cos\theta}{1+r^2},\qquad b=\frac{2r\sin\theta}{1+r^2},\qquad c=\frac{r^2-1}{r^2+1}.$$

(1) $a,b,c$ の関係式

上の表示から
$$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &=\frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta+(r^2-1)^2}{(1+r^2)^2}\\ &=\frac{4r^2+(r^2-1)^2}{(1+r^2)^2} =\frac{(1+r^2)^2}{(1+r^2)^2}=1. \end{aligned}$$$$a^2+b^2+c^2=\frac{4r^2{\cos }^2\theta +4r^2{\sin }^2\theta +(r^2-1{)}^2}{(1+r^2{)}^2}$$$$=\frac{4r^2+(r^2-1{)}^2}{(1+r^2{)}^2}=\frac{(1+r^2{)}^2}{(1+r^2{)}^2}=1.$$
よって
$$\boxed{a^2+b^2+c^2=1}.$$

(2) 内積の最大値とそのときの $a,b,c$

条件 $r\cos\theta=1/2$ の下で $u=r\sin\theta$ と置く。このとき $u$ は任意の実数をとり、
$$r^2=\frac14+u^2,\qquad 1+r^2=u^2+\frac54.$$
上で得た $a,b,c$ の式は
$$a=\frac{1}{u^2+5/4},\qquad b=\frac{2u}{u^2+5/4},\qquad c=\frac{u^2-3/4}{u^2+5/4}$$
となる。したがって
$$\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{OR} =4a+b+c =\frac{u^2+2u+13/4}{u^2+5/4}.$$
分母は常に正であり、
$$3-\left(4a+b+c\right) =\frac{3(u^2+5/4)-(u^2+2u+13/4)}{u^2+5/4} =\frac{2(u-1/2)^2}{u^2+5/4}\geqq0.$$
等号は $u=1/2$ のときに成立する。この値は条件に適合し、実際 $r^2=1/2$、$\cos\theta=\sin\theta=1/\sqrt2$ とできる（$\theta=\pi/4$）。そのとき
$$a=\frac23,\qquad b=\frac23,\qquad c=-\frac13.$$
よって
$$\boxed{\max\left(\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{OR}\right)=3}, \qquad \boxed{(a,b,c)=\left(\frac23,\frac23,-\frac13\right)}.$$