1岩手医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$t=4^{x}$で指数式を整理し、問1は平方の非負性、問2は二次方程式と対数で処理する。問3は恒等式$2f(s)^{2}-1=f(2s)$と正の範囲での解の一意性から漸化式を導き、問4で係数の増加を比較する。

まず $t=4^x>0$ とおく。指数法則より $$f(x)=2\cdot4^{x-1}+2\cdot4^{-x-1}=\frac{4^x+4^{-x}}{2}=\frac{t+t^{-1}}{2}.$$

問1では $$f(x)-1=\frac{t+t^{-1}-2}{2}=\frac{(t-1)^2}{2t}\geqq0.$$ 等号は $t=1$、すなわち $x=0$ のときに限る。よって最小値は $1$ であり、 $\text{ア}=0,\quad \text{イ}=1$。

問2では $f(x)=2$ より $t+t^{-1}=4$。 $t>0$ なので $$t^2-4t+1=0,\qquad t=2\pm\sqrt3.$$ $\sqrt3<2$ より両方の値は正である。 $t=4^x=2^{2x}$ から $$x=\frac12\log_2\left(2\pm\sqrt3\right).$$ 二解の和は $$\frac12\log_2\left((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)\right)=\frac12\log_2 1=0.$$ よって $\text{ウ}=1,\quad \text{エ}=2,\quad \text{オ}=2,\quad \text{カ}=3,\quad \text{キ}=0$。

問3の右辺について、任意の実数 $s$ で $$2\{f(s)\}^2-1=2\left(\frac{4^s+4^{-s}}{2}\right)^2-1=\frac{4^{2s}+4^{-2s}}{2}=f(2s).$$ $s>0$ とし、正の解 $x>0$ に対して $u=4^x>1$、 $v=4^{2s}>1$ とおくと、 $$f(x)=f(2s)\quad\text{から}\quad u+u^{-1}=v+v^{-1}\quad\text{すなわち}\quad (u-v)(uv-1)=0.$$ ここで $uv>1$ だから $u=v$。底が $4>1$ の指数関数は増加するので $x=2s$ である。したがって正の解はただ1つで、 $s=\alpha$ とすれば $a_1=2\alpha$。同様に各 $k$ について $a_{k+1}=2a_k$ となるから、 $$a_k=2^{k-1}a_1=2^k\alpha\quad(k=1,2,\ldots).$$ ゆえに $b_1=2,\ c_1=0$、すなわち $\text{ク}=2,\quad \text{ケ}=0$。

問4では $b_k=2^k$ である。よって $$b_6=2^6=64.$$ また $2^9=512<1000<1024=2^{10}$ で、 $2^k$ は自然数 $k$ とともに増加する。したがって $b_k>1000$ を満たす最小の $k$ は $10$ である。よって $\text{コ}=6,\quad \text{サ}=4,\quad \text{シ}=1,\quad \text{ス}=0$。