1岩手医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

円周を媒介変数表示し、中点の軌跡は中心・半径で判定する。接線上の点は半径方向と接線方向の直交成分に分ける。最後は剛体移動後、円盤と外部点の凸包の面積を接点・扇形・三角形で求める。

円$C$の中心を$O(-3,0)$とすると半径は$3$である。

問1　 円$C$上の点は、$0\leqq\theta<2\pi$として
$$P(-3+3\cos\theta,\ 3\sin\theta)$$
と表せる。したがって$\overrightarrow{AM}$は$\overrightarrow{AP}$の半分なので、
$$M\left(\frac{2+(-3+3\cos\theta)}{2},\frac{1+3\sin\theta}{2}\right) =\left(\frac32\cos\theta-\frac12,\frac32\sin\theta+\frac12\right).$$
よって$\text{ア}=3,\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=3,\ \text{エ}=3,\ \text{オ}=2,\ \text{カ}=1,\ \text{キ}=2,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=2,\ \text{コ}=1,\ \text{サ}=2$である。

問2　 問1の表示で$\cos\theta$と$\sin\theta$が動くので、$M$は中心$\left(-\frac12,\frac12\right)$、半径$\frac32$の円を一周する。したがって$\text{シ}=1,\ \text{ス}=2,\ \text{セ}=1,\ \text{ソ}=2,\ \text{タ}=3,\ \text{チ}=2$である。

問3　 $\vec{u}=(\cos\theta,\sin\theta)$、$\vec{v}=(-\sin\theta,\cos\theta)$とおくと、$\vec{u},\vec{v}$は直交する単位ベクトルであり、$P=O+3\vec{u}$である。円$C$の点$P$における接線は$OP$に垂直であるから、距離が$3\sqrt3$である接線上の2点は
$$Q=O+3\vec{u}\pm3\sqrt3\vec{v}$$
と表せる。よって
$$OQ^2=3^2+(3\sqrt3)^2=36,\qquad OQ=6.$$
いずれの符号でも、$\theta$が一周すれば方向も一周する。したがって$Q$の軌跡は中心$O$、半径$6$の円であり、$\text{ツ}=6$である。

問4　 剛体移動して$O=(0,0)$、$Q_0=(6,0)$としてよい。このとき$C$は半径$3$の円である。点$Q_0$と円周上の点を結ぶ線分の集合は、点$Q_0$と円盤$x^2+y^2\leqq9$との凸包に一致する。実際、円盤内の各点$X$をとり、直線$Q_0X$を$X$の先へ延ばすと円周上の点$P$に達するので、$X$は線分$Q_0P$上にある。逆に掃過領域の各線分はこの凸包に含まれる。また、凸包の点は$Q_0$と円盤内の点を結ぶ線分上にあるため、以上から掃過領域に含まれる。

円から$Q_0$に引いた接線の接点を$T_+,T_-$とする。$T=(x,y)$では$x^2+y^2=9$かつ$OT\perp Q_0T$なので
$$(6-x,-y)\cdot(x,y)=0,\quad 6x-9=0.$$
したがって$T_\pm=\left(\frac32,\pm\frac{3\sqrt3}{2}\right)$、$T_+T_-=3\sqrt3$である。この凸包のうち円盤の外側の部分は、三角形$Q_0T_+T_-$から円内の小弓形（弦$T_+T_-$と中心角$\frac{2\pi}{3}$の小弧に囲まれる部分）を除いた部分である。三角形$Q_0T_+T_-$の面積は
$$\frac12\cdot3\sqrt3\cdot\frac92=\frac{27\sqrt3}{4}.$$
円の小さい弓形の面積は、扇形から三角形$OT_+T_-$を引いて
$$\frac12\cdot3^2\cdot\frac{2\pi}{3}-\frac12\cdot3\sqrt3\cdot\frac32 =3\pi-\frac{9\sqrt3}{4}.$$
したがって円盤の外側に加わる部分は
$$\frac{27\sqrt3}{4}-\left(3\pi-\frac{9\sqrt3}{4}\right)=9\sqrt3-3\pi.$$
ゆえに掃過領域の面積は
$$9\pi+(9\sqrt3-3\pi)=9\sqrt3+6\pi.$$
よって$\text{テ}=9,\ \text{ト}=3,\ \text{ナ}=6$である。