2東京科学大学 2024年 数学 第2問解答・解説

線分 $BD$ 上の点を $N=(0,s,1-s)$、$0\leqq s\leqq1$ と表す。$M=(-1/2,0,1/2)$。$$\overrightarrow{AN}=(-1,s,1-s),\qquad \overrightarrow{NM}=(-1/2,-s,s-1/2)$$
なので、水平距離と高さの差から
$$t_1=\frac{1-s}{\sqrt{1+s^2}},\qquad t_2=\frac{s-1/2}{\sqrt{s^2+1/4}}.$$

(1) 分母は正だから $t_2=0$ は $s=1/2$ と同値。このとき
$$t_1=\frac{1/2}{\sqrt{5/4}}=\frac1{\sqrt5}.$$

(2) $B$ から $D$ への単位方向 $\vec{e}=(0,-1,1)/\sqrt2$ に沿う座標を $\xi$ とする。$N$ の座標は $\xi=\overrightarrow{BN}\cdot\vec{e}=\sqrt2(1-s)$。$A,M$ の射影座標は
$$\xi_A=\overrightarrow{BA}\cdot\vec{e}=\frac1{\sqrt2},\qquad \xi_M=\overrightarrow{BM}\cdot\vec{e}=\frac3{2\sqrt2}.$$
$BD$ への垂直距離を $h_A,h_M$ とすると、ピタゴラスの定理から
$$h_A^2=|BA|^2-\xi_A^2=2-\frac12=\frac32,\qquad h_M^2=|BM|^2-\xi_M^2=\frac32-\frac98=\frac38.$$
補助平面に $A'=(\xi_A,h_A),\ M'=(\xi_M,-h_M),\ N'=(\xi,0)$ を置くと、射影成分と垂直成分から $|AN|=|A'N'|$、$|NM|=|N'M'|$。よって三角不等式から $l\geqq|A'M'|$。$$\xi_M-\xi_A=\frac1{2\sqrt2},\qquad h_A+h_M=\frac{3\sqrt6}{4}$$
より
$$|A'M'|^2=\frac18+\frac{27}{8}=\frac72, \qquad |A'M'|=\frac{\sqrt{14}}2.$$
線分 $A'M'$ は $h_A=2h_M$ より $A'$ から $2/3$ 進んだところで $\xi$ 軸と交わる。そこで
$$\xi_* =\xi_A+\frac23(\xi_M-\xi_A)=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
$\xi_* =\sqrt2(1-s)$ から $s=1/3$。これは $0\leqq s\leqq1$ を満たし、対応する $N'$ は線分 $A'M'$ 上にあるので三角不等式の等号が成立する。従って最小値は $\sqrt{14}/2$。

(3) $0\leqq t_2$ は $s\geqq1/2$ と同値。線分条件から $s\leqq1$ なので $t_1\geqq0$ でもある。この範囲で両辺非負のため、$t_2\leqq t_1$ を二乗して分母を払うと
$$(s-1/2)^2(1+s^2)\leqq(1-s)^2(s^2+1/4).$$
右辺から左辺を引くと
$$(1-s)^2(s^2+1/4)-(s-1/2)^2(1+s^2)=\frac{s}{2}(1-2s^2).$$
$s\geqq1/2>0$ より、この差が非負であることは $s\leqq1/\sqrt2$ と同値。従って必要十分範囲は
$$\frac12\leqq s\leqq\frac1{\sqrt2}.$$