4広島大学 2024年 数学 第4問解答・解説

円Cの方程式は $|z-1|=\sqrt2$ です。したがって $z=0$ はC上にありません。

(1)

虚軸上の点を $\alpha=ti$（$t$は実数）とおくと、円上にある条件から

$$|ti-1|^2=t^2+1=2$$

なので $t=\pm1$、すなわち $\alpha=\pm i$ です。いずれの場合も $1/\alpha=-\alpha$ だから、$\alpha+1/\alpha=0$ です。

(2)

円上のzについて $|z-1|^2=2$ を展開すると

$$|z|^2-z-\overline z+1=2,\qquad |z|^2=z+\overline z+1.$$

よって

$$|z+1|^2=|z|^2+z+\overline z+1=2|z|^2.$$

したがって

$$\left|-\frac1z-1\right|=\frac{|z+1|}{|z|}=\sqrt2.$$

これは点 $-1/z$ と円の中心1との距離が$\sqrt{2}$であることを表すので、$-1/z$ はC上にあります。

(3)

$w=z+1/z$ より

$$w-2=\frac{(z-1)^2}{z}.$$

絶対値をとり、$|z-1|^2=2$ を使えば

$$|w-2|=\frac{|z-1|^2}{|z|}=\frac2{|z|}.$$

(4)

同様に

$$w+2=\frac{(z+1)^2}{z}.$$

(2)で得た $|z+1|^2=2|z|^2$ から $|w+2|=2|z|$ です。これと(3)を掛け合わせると

$$|w-2||w+2|=\frac2{|z|}\,2|z|=4.$$