II福岡大学 2024年 数学 第II問解答・解説

置換式の値域と三次の恒等式から第1空欄を導き、y=0の存在条件を値域上で調べた。データは平均から変数を結び、中央値の定義に沿って候補を全て確認した。

(i) $x=t+1/t$ であるから、
$$x^3=\left(t+\frac1t\right)^3=t^3+\frac1{t^3}+3\left(t+\frac1t\right)$$
となる。よって
$$y=t^3+\frac1{t^3}+(k^2-k-7)x =x^3-3x+(k^2-k-7)x =x^3+(k^2-k-10)x.$$

また $t>0$ なので
$$x=t+\frac1t=2+\frac{(t-1)^2}{t}\geqq2.$$
逆に、任意の $x\geqq2$ に対して $t^2-xt+1=0$ は正の解をもつので、$x$ の値域は $x\geqq2$ である。$y=0$ は $x>0$ より
$$x^2=-k^2+k+10$$
と同値である。したがって正の $t$ が存在する条件は
$$-k^2+k+10\geqq4\quad\text{と同値な条件は}\quad k^2-k-6\leqq0 \quad\text{、すなわち}\quad -2\leqq k\leqq3.$$
よってそのような $t$ が存在しない範囲は $k<-2$ または $k>3$。

(ii) 平均値が $6$ なので、10個の値の和は $60$ である。既知の7個の値の和は $42$ だから
$$42+a+(a+3)+b=60\quad\text{より}\quad b=15-2a.$$
さらに $a\leqq b$ より $a\leqq5$。中央値は小さい順に並べた第5項と第6項の平均である。

$a\leqq1$ のとき $b\geqq13$ であり、$a,a+3,1,2,2$ はすべて $4$ 以下、残りの値は $8,9,10,10,b$ である。従って第5項は $4$ 以下、第6項は $8$ であり、中央値は $6$ 以下。

残る整数 $a=2,3,4,5$ については、順に並べると
$$\begin{array}{c|c|c} a&\text{小さい順に並べた10個の値}&\text{中央値}\\ \hline 2&1,2,2,2,5,8,9,10,10,11&13/2\\ 3&1,2,2,3,6,8,9,9,10,10&7\\ 4&1,2,2,4,7,7,8,9,10,10&7\\ 5&1,2,2,5,5,8,8,9,10,10&13/2 \end{array}$$
である。条件を満たすのは $a=3,4$ の2通りで、対応する $(a,b)$ は $(3,9),(4,7)$。したがって組の個数は $2$。