III福岡大学 2024年 数学 第III問解答・解説

対数式の微分を直接整理して接線を求めた。面積は部分積分し、平方根と対数の微分関係を使って原始関数を導き、端点で評価した。

(i) $R=\sqrt{x^2+16}$、$L=\log(x+R)$ とおく。$R'=x/R$ であり、$x+R>0$ だから
$$L'=\frac{1+x/R}{x+R}=\frac1R.$$
従って
$$g'(x)=16L'+R+xR'=\frac{16}{R}+R+\frac{x^2}{R}=2R.$$
$x=3$ では $R=5$、$g(3)=16\log8+15$、$g'(3)=10$ である。ゆえに接線は
$$y-(16\log8+15)=10(x-3),\qquad y=10x+16\log8-15.$$

(ii) $x\geqq0$ なら $x+\sqrt{x^2+16}\geqq4$ なので $f(x)\geqq16\log4>0$。従って $y=xf(x)$ は $x=0$ でのみ $x$ 軸と交わり、求める面積は
$$16\int_0^3xL\,dx$$
である。部分積分すると
$$\int xL\,dx=\frac{x^2}{2}L-\frac12\int\frac{x^2}{R}\,dx.$$
ここで $x^2/R=R-16/R$、$L'=1/R$ であり、
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{xR}{2}+8L\right)=R$$
だから
$$\int\frac{x^2}{R}\,dx=\frac{xR}{2}-8L.$$
したがって
$$\int xL\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+4\right)L-\frac{xR}{4}.$$
よって面積は
$$16\left[\left(\frac{x^2}{2}+4\right)L-\frac{xR}{4}\right]_0^3 =136\log8-64\log4-60 =280\log2-60.$$