2藤田医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

直線の傾きと切片を未知数として置き、接する条件を二次方程式の判別式が0であることに直して解く。得た直線について平方の形で接点を確かめ、放物線同士の交点と上下関係から囲まれた領域を特定してから、定積分で面積を計算する。

(1)

直線 $\ell$ を $y=mx+n$（$m$、$n$ は実数）とおく。

$C_{1}$ と直線 $\ell$ の交点の $x$ 座標は
$$x^{2}+\{2(k+1)-m\}x+(4k+3-n)=0$$
の解である。接するための必要十分条件はこの二次方程式の判別式が0となることなので、
$$\{m-2(k+1)\}^{2}-4(4k+3-n)=0, \qquad n=4k+3-\dfrac{\{m-2(k+1)\}^{2}}{4}.$$
同様に、$C_{2}$ に接する条件は
$$\{m-2(k-1)\}^{2}-4(-4k+3-n)=0, \qquad n=-4k+3-\dfrac{\{m-2(k-1)\}^{2}}{4}.$$
両式の $n$ を等しくすると
$$8k=\dfrac{(m-2k-2)^{2}-(m-2k+2)^{2}}{4} =-2(m-2k),$$
ゆえに $m=-2k$。これを代入すると $n=2-4k^{2}$ である。したがって
$$\ell:\ y=-2kx+2-4k^{2}.$$

この直線が実際に両方に接することは
$$C_{1}-\ell=(x+2k+1)^{2},\qquad C_{2}-\ell=(x+2k-1)^{2}$$
から確かめられる。よって接点の $x$ 座標はそれぞれ $-2k-1$、$-2k+1$ である。また
$$C_{1}-C_{2}=4(x+2k)$$
より二つの放物線の交点の $x$ 座標は $-2k$ であり、その左側では $C_{1}$ が下、右側では $C_{2}$ が下となる。両放物線は直線の上側にあるため、求める閉領域は、左側で $C_{1}$、右側で $C_{2}$ を上側の境界とし、直線を下側の境界とする。

(2)

面積は
$$\begin{aligned} S &=\int_{-2k-1}^{-2k}(C_{1}-\ell)\,dx +\int_{-2k}^{-2k+1}(C_{2}-\ell)\,dx\\ &=\int_{-2k-1}^{-2k}(x+2k+1)^{2}\,dx +\int_{-2k}^{-2k+1}(x+2k-1)^{2}\,dx\\ &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{3}. \end{aligned}$$$$S={\int }_{-2k-1}^{-2k}(C_1-\ell )dx+{\int }_{-2k}^{-2k+1}(C_2-\ell )dx$$$$={\int }_{-2k-1}^{-2k}(x+2k+1{)}^{2}dx+{\int }_{-2k}^{-2k+1}(x+2k-1{)}^{2}dx$$$$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$
以上は任意の実数 $k$ で成り立ち、追加の制約はない。